Väljateooria

Väljateooria on füüsikaliste väljade teooria, mis hõlmab klassikalist väljateooriat (potentsiaal- ja vektorväljad) ja kvantväljateooriat.

Väljateooriad on välja arenenud Maa gravitatsioonivälja kui potentsiaalse välja teooriast, mis tekkis umbes 1800. aastal ja on matemaatiliseks aluseks kõigi nende füüsikaliste toimete kirjeldamisel, mis on põhjustatud jõududest või vastastikmõjudest. Sellisena on neil väljateooriatel keskne osa teoreetilises füüsikas, geofüüsikas ja teistes geoteadustes.

Eristatakse skalaar-, vektor- ja tensorvälju. Skalaarse välja iga ruumipunkt on määratud skalaariga, s.t reaalarvuga, mis väljendab näiteks temperatuuri või elektripotentsiaali. Vektorväli on näiteks elektriväli ja voolise kiirusväli, mille iga punkti parameetrid on määratud vektoriga. Tensorväljad on kasutusel pideva keskkonna mehaanikas ja üldrelatiivsusteoorias. Kvantväljateooriates on väljad kvanditud.

Eri väljatüüpide vahel on mitmesuguseid seoseid. Näiteks on olemas jõuväljad (seega vektorväljad), mille üksikud vektorid tuletuvad aluseks olevast skalaarväljast (skalaarsest potentsiaalist), nt gravitatsiooniväli kui gravitatsioonipotentsiaali tuletis (gradient), elektriväli kui elektripotentsiaali tuletis jne. Ka vastupidi, teatud vektorväljadest saab divergentsioperaatorit kasutades tuletada skalaarvälju, samuti tuletada teatud vektorpotentsiaalidest muid vektorvälju (näiteks magnetinduktsiooni välja), kasutades rotatsioonioperaatorit.

Klassikalised väljateooriad

Tuntumad klassikalised teooriad on potentsiaaliteooria, mis töötati välja umbes 1800. aastal Maa kuju ja gravitatsioonivälja uurimisel, ja elektrodünaamika, mille töötas Maxwell välja 1850. aasta paiku. Gravitatsioon üldrelatiivsusteooria raames on samuti klassikaline väljateooria, sest jõudude toime on siin pidev..

Ajalooliselt esitati väljade kohta algselt kaks hüpoteesi: lähimõju- ja kaugmõjuhüpotees. Lähimõjuhüpoteesis eeldatakse, et nii vastastikmõjus osalevatel kehadel kui ka nendega kaasneval väljal on energia, samas kui kaugmõjuteoorias on kaasatud ainult kehad. Lisaks leviksid kaughüpoteesi kohaselt häiringud silmapilkselt, viivituseta. Vastavat diskussiooni arendasid Isaac Newton, Pierre-Simon Laplace ja Michael Faraday. Neid kahte mõjuliiki ei saa eksperimentaalselt eristada staatiliste või ainult aeglaselt muutuvate väljade puhul. Seetõttu sai küsimuse otsustada vaid Heinrich Hertzi elektromagnetlainete avastamine lähimõjuefekti kasuks: elektromagnetlained saavad levida ainult siis, kui väljal endal on energiat.

Väljade tüübid

Allikväli
$\exists A:\oint _{A}{\vec {X}}\cdot \mathrm {d} {\vec {A}}\neq 0$
On olemas vähemalt üks mähispind A, mille puhul suletud pindintegraal üle ${\vec {X}}\cdot \mathrm {d} {\vec {A}}$ ei võrdu nulliga
Allikavaba väli
$\forall A:\oint _{A}{\vec {X}}\cdot \mathrm {d} {\vec {A}}=0$
Pole olemas ühtki mähispinda A, mille puhul suletud pindintegraal üle ${\vec {X}}\cdot \mathrm {d} {\vec {A}}$ ei võrdu nulliga

Väljateoorias eristatakse allikvälju ja pöörisvälju. Allikväljad (vt Allikalisus) on põhjustatud allika- ja neelupunktidest, millel väljajooned vastavalt algavad ja lõpevad. Pöörisväljad on kirjeldatavad pööristena, mille moodustavad suletud väljajooned, kuigi selline piltlik kujutusviis pole tingimata vajalik: piisab joonintegraalist piki suvalist suletud rada, millel on väljas vähemalt üks nullist erinev väärtus, näiteks laminaarsetes voolustes.

Allikväli

Üldise väljasuuruse 'X' puhul on allikväli antud siis, kui vektorvälja allikalisus on nullist erinev ja rootor on null:

\mathbf {\operatorname {div} } \mathbf {X} =\nabla \cdot \mathbf {X} \neq 0,\qquad \mathbf {\operatorname {rot} } \mathbf {X} =\nabla \times \mathbf {X} =\mathbf {0}

Allikväljad saab sõltuvalt nende rajaväärtustest jagada "Newtoni väljadeks" ja "Laplace'i väljadeks". Newtoni väljad, nagu näiteks gravitatsioonväli, eksisteerivad allika või neelu ruumiliselt piiramatus ümbruses, Laplacia väljad seevastu ainult allika ja neelu süsteemi lõplikus ümbruses. Sellise Laplacia välja näiteks on elektrostaatiline väli kahe vastasmärgilise laenguga elektroodi vahel. Newtoni ja Laplace'i väljad võivad esineda ka kombineeritult.

Pöörisväli
$\exists S:\oint _{S}{\vec {X}}\cdot \mathrm {d} {\vec {s}}\neq 0$
On olemas vähemalt üks rajajoon S, mille puhul ringintegraal üle ${\vec {X}}\cdot \mathrm {d} {\vec {s}}$ ei võrdu nulliga
Pöörisevaba väli
$\forall S:\oint _{S}{\vec {X}}\cdot \mathrm {d} {\vec {s}}=0$
Pole olemas ühtki rajajoont S, mille puhul ringintegraal üle ${\vec {X}}\cdot \mathrm {d} {\vec {s}}$ ei võrdu nulliga

Pöörisväli

Pöörisväljade väljajooned on kinnised (suletud) või lõpmatult pikad ega ole seotud allikate ja neelude olemasoluga. Piirkondi, mille ümber väljajooned kokku tõmbuvad, kirjeldab rootor

\mathbf {\operatorname {rot} } \mathbf {X} =\nabla \times \mathbf {X} \neq \mathbf {0} ,\qquad \mathbf {\operatorname {div} } \mathbf {X} =\nabla \cdot \mathbf {X} =0

Sarnaselt allikväljadega saab ka pöörisväljad liigitada Newtoni ja Laplace'i väljadeks. Newtoni välja näiteks on elektromagnetlaine nihkevoolu tihedus, Laplace’i välja näide on elektriline pöörisväli, mis moodustub ümber ajas muutuva magnetvoo.

Üldistus

Üldjuhul koosneb iga väli X allikvälja X_Q ja pöörisvälja X_W superpositsioonist. Oma keskse koha tõttu nimetatakse seda seost vektoranalüüsi alusteoreemiks või Helmholtzi teoreemiks:

\mathbf {X} =\mathbf {X} _{Q}+\mathbf {X} _{W}

Kumbki liidetav võib seejuures koosneda Newtoni ja Laplace'i välja superpositsioonist, mis tähendab, et võrrandil võib olla neli varianti.

Väljateoorias on väli selgelt määratletud, kui on teada selle allika- ja pöörisetihedus, samuti väljade võimalikud rajad ja seal valitsevad rajaväärtused. Sellise kahekomponendilise jaotuse praktiline tähtsus seisab selles, et võimaldab lihtsamat lähenemist üksikprobleemidele. Lisaks saab paljudes praktiliselt olulistes rakendustes probleemiasetusi taandada vaid ühele komponendile.

Vaata ka