Soojusjuhtivuse võrrand

Temperatuuride muutumine ajas ruudukujulises metallplaadis vastavalt soojusjuhtivuse võrrandile. Kõrgus tasapinnast ja värv näitavad temperatuuri väärtusi igas keha punktis. Alghetkel on plaadi keskel kabjakujuline ühtlaselt kõrgema temperatuuriga osa (punane) ja teda ümbritsev ühtlaselt külmem osa (kollane)

Soojusjuhtivuse võrrand on paraboolne osatuletistega diferentsiaalvõrrand, mis kirjeldab mingis piirkonnas soojuse jaotumist ja jaotumise muutumist ajas.

Võrrandi esitus

Funktsiooni jaoks $u(x,y,z,t)$, mille ruumimuutujad on defineeritud kolmemõõtmelises eukleidilises ruumis ristkoordinaatides $x,y,z$ ja millel on üks ajamuutuja $t$avaldub soojusjuhtivuse võrrand kujul

${\frac {\partial u}{\partial t}}-\alpha \left({\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial z^{2}}}\right)=0$

kus $\alpha$ on reaalarvuline koefitsient, mida nimetatakse keskkonna difusiivsuseks. Kompaktsemalt ja koordinaadisüsteemist sõltumatult saab soojusjuhtivuse võrrandi kirja panna kujul

${\dot {u}}=\alpha \nabla ^{2}u$

kus tähistab $\nabla ^{2}$on Laplace'i operaatorit ja ${\dot {u}}$ esimest tuletist aja järgi.

Vaata ka

• Osatuletistega diferentsiaalvõrrand
• Difusioon