Laplace'i operaator on matemaatikas kaks korda diferentseeruvatele mitme muutuja funktsioonidele rakendatav diferentsiaaloperaator, mis on eukleidilises ruumis defineeritud kui funktsiooni gradiendi divergents.
Ristkoordinaatides avaldub Laplace'i operaator kujul[1]
![{\displaystyle \Delta =\nabla ^{2}=\sum _{i=1}^{n}{\partial ^{2} \over \partial x_{i}^{2}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f999aeb6f4e62e43d3036daa6d7a4eaa6ca144fe)
kus
on nabla-operaator ja
tähistab osatuletise võtmise operaatorit muutuja
järgi.
Laplace'i operaator on saanud nimetuse prantsuse matemaatiku Pierre-Simon de Laplace'i (1749–1827) järgi. Laplace kasutas antud operaatorit esmakordselt taevamehaanikas, kus ta gravitatsioonivälja potentsiaalile rakendatuna annab konstandi kordse massi tiheduse. Selle võrrandi Δf = 0 üldisemat kuju nimetatakse tänapäeval Laplace'i võrrandiks.
Laplace'i operaator eri koordinaadistikes[muuda | muuda lähteteksti]
Laplace'i operaatori rakendamine kahe muutuja funktsioonile f(x,y) annab ristkoordinaatides x ja y'
![{\displaystyle \Delta f={\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2df74581e8c913a775fb8b89a1811d5d66a90a12)
Polaarkoordinaatides kehtib
![{\displaystyle \Delta f={1 \over r}{\partial \over \partial r}\left(r{\partial f \over \partial r}\right)+{1 \over r^{2}}{\partial ^{2}f \over \partial \theta ^{2}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/484c5705900605c1433e691c5e00a66d818ebda3)
Kolmes dimensioonis on Laplace'i operaatori kuju olulisemates koordinaadisüsteemides järgmine:
Ristkoordinaatides:
![{\displaystyle \Delta f={\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial z^{2}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/33587fedbb79ea8527c34eca0f99b261dd1e4c17)
Silindrilistes koordinaatides:
![{\displaystyle \Delta f={1 \over \rho }{\partial \over \partial \rho }\left(\rho {\partial f \over \partial \rho }\right)+{1 \over \rho ^{2}}{\partial ^{2}f \over \partial \theta ^{2}}+{\partial ^{2}f \over \partial z^{2}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b60ecf7aa645ce00320f4334ca96e8603aa2aaa4)
Sfäärilistes koordinaatides:
![{\displaystyle \Delta f={1 \over r^{2}}{\partial \over \partial r}\left(r^{2}{\partial f \over \partial r}\right)+{1 \over r^{2}\sin \theta }{\partial \over \partial \theta }\left(\sin \theta {\partial f \over \partial \theta }\right)+{1 \over r^{2}\sin ^{2}\theta }{\partial ^{2}f \over \partial \phi ^{2}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e2300f274451fc5307b89b02f673ac3692abccef)
(
tähistab sfäärilist laiust ja
sfäärilist pikkust).
Avaldise
võib asendada samaväärse avaldisega
.
N-dimensionaalsetes sfäärilistes koordinaatides, mis on parametriseeritud kujul
, kus
,
, on Lapalace'i operaatoril kuju
![{\displaystyle \Delta f={\frac {\partial ^{2}f}{\partial r^{2}}}+{\frac {N-1}{r}}{\frac {\partial f}{\partial r}}+{\frac {1}{r^{2}}}\Delta _{S^{N-1}}f}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/77be9ec57ab430bc4f3de62b6edc6d624544cfcf)
kus
on Laplace'i-Beltrami operaator
dimensionaalsel sfääril ehk sfääriline Laplace'i operaator.
Avaldise
võib asendada samaväärse avaldisega
Laplace'i operaator diferentsiaalvõrrandites[muuda | muuda lähteteksti]
Laplace'i operaator esineb paljudes olulistes diferentsiaalvõrrandites. Neist mõned on:
Laplace'i võrrand:
![{\displaystyle \Delta f=0\,,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d831e1be5b38792fb7decdcc9e87bff3a60a7371)
kusjuures selle võrrandi lahendeid nimetatakse harmoonilisteks funktsioonideks.
Biharmooniline võrrand:
![{\displaystyle \Delta ^{2}f=0\,,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/77e3d0a9e290e75c1bb1ff34a698ab9defea904a)
kusjuures selle võrrandi lahendeid nimetatakse biharmoonilisteks funktsioonideks.
Poissoni võrrand:
![{\displaystyle \Delta f=-g\,,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/983c1c1525c65deaf4fb9ad39896464896985aa3)
kus g on teadaolev funktsioon.
Lainevõrrand:
![{\displaystyle \Delta f={\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial t^{2}}}\,,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9cbbb83c903fa8382bfe801b785e0c1aca4280eb)
kus
on laine liikumise kiirus.
Difusioonivõrrand:
![{\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial t}}=k\Delta f}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e4aa77c3cd0f279d7a1db136af1b3ac1f10a547d)
kus k on konstant.
Schrödingeri võrrand kvantmehaanikas:
![{\displaystyle i\hbar {\frac {\partial \phi }{\partial t}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\Delta \phi +V\phi \,,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c999a2277088394a8845e237b770ee4696a1477b)
kus
on lainefunktsioon,
on taandatud Plankci konstant, m on osakese mass ja
on potentsiaalne energia.
- ↑ Ü. Kaasik, Matemaatikaleksikon (2002)