Kvantmehaanika

Üks kvantmehaanika järelmeid: elektroni kohaloleku tõenäosuse tihedused vesinikuaatomis eri olekutes

Kvantmehaanika on füüsikateooria, mis arvestab mikroosakeste käitumise eripärasid. Selle tänapäevane kuju arendati välja aastatel 1925–1935 ning selle põhiautorid on Werner Heisenberg, Erwin Schrödinger, Max Born, Pascual Jordan, Wolfgang Pauli, Niels Bohr, Paul Dirac ja John von Neumann.

Kvantmehaanika on tänapäeva füüsika üks alussambaid ning on aluseks paljudele füüsikaharudele, sealhulgas aatomifüüsikale, tahkisefüüsikale, tuumafüüsikale ja elementaarosakeste füüsikale ning samuti näiteks kvantkeemiale. Kui klassikaline füüsika osutus mikromaailma süsteemide kirjeldamiseks ebasobivaks, siis kvantmehaanika abil on võimalik täpselt arvutada aatomite, molekulide, tahkiste ja lihtsate bioloogiliste süsteemide (kvantbioloogia) omadusi.

Kvantmehaanika matemaatiline formalism erineb tunduvalt klassikalise füüsika matemaatilisest formalismist.

Kvantmehaanika sai alguse Max Plancki 1900. aastal tehtud tähelepanekust, et musta keha kiirguse spektri seletamiseks peaks valgus tekkima ja neelduma diskreetsete "energiaportsjonitena" – kvantidena, mis erinevad üksteisest Plancki konstandi ja sageduse kordarvu võrra. Kvantmehaanikas kohtab teisigi füüsikalisi suurusi, mis võtavad diskreetseid väärtusi, kuigi klassikalise mehaanika järgi muutuvad need suurused pidevalt. Selliseks suuruseks on näiteks impulsimoment.

Kvantmehaanikas vaadeldavate mikroobjektide märkimisväärsemaid iseärasusi on veel lainelis-korpuskulaarne dualism, mis ütleb, et kvantobjektid käituvad korraga nagu lained ja osakesed, ja sellega kaudselt seotud määramatuse relatsioonid, mis keelavad teatud füüsikaliste suuruste paaridel samaaegselt kindlat väärtust omada. Selliseks paariks on näiteks impulss ja asukoht: näiteks elektronile lainepikkuse omistamine ja tema asukoha sidumine seisulaine maksimumidega tähendab, et asukoht on määratav parimal juhul lainepikkuse täpsusega; sarnaselt on seotud ka aeg ja energia.

Kvantmehaanikas kirjeldatakse füüsikalisi objekte ja nende omadusi statistiliselt. Mikroosakese oleku määrab tema lainefunktsioon Ψ (Ψ² – tõenäosuse tihedus), mille argumendid on osakeste koordinaadid ja aeg. Lainefunktsioon leitakse Schrödingeri võrrandist, kvantmehaanika põhivõrrandist, mis kirjeldab süsteemi käitumist ajas ja ruumis.

Ajalugu

Eellugu

 Pikemalt artiklis Poolklassikaline kvantteooria

Kvantmehaanika teooria vajadus tulenes elektromagnetismi ja klassikalise mehaanika suutmatusest seletada kõiki elektromagnetkiirguse omadusi ja aatomi ehitust. Näiteks olid seletamata musta keha kiirguse probleem, fotoelektriline efekt ja Comptoni efekt.

Kvantfüüsika areng algas 20. sajandi alguses poolklassikaliste kvantteooriate ehk vanade kvantteooriate väljatöötamisega. Need teooriad seletasid vaid üksikuid nähtusi, suutmata erinevaid eksperimente omavahel seostada. Nad kirjeldasid mikromaailma nähtusi, mille puhul teatud suurustel (näiteks energial või impulsimomendil) said olla ainult teatud väärtused. Sellist üleminekut nimetatakse suuruste kvantimiseks.

Aastal 1924 avaldas Louis de Broglie oma mateerialainete (de Broglie lainete) teooria, mille järgi osakestel on ka laineiseloom ja lainetel osakeseiseloom. See töö andis kvantnähtustele küll ühtse seletuse, kuid seegi oli heuristilise iseloomuga ega võimaldanud ka täpseid ennustusi. Seetõttu arvatakse ta viimasena vanade kvantteooriate hulka. Ometi oli ta kvantmehaanikale teedrajav. 1927. aastal sai de Broglie teooria kaks sõltumatut eksperimentaalset kinnitust, mis tõendasid elektronide difraktsiooni, mida mateerialainete teooria oli ennustanud. Briti füüsik George Paget Thomson juhtis elektronkiire läbi üliõhukese metallikihi ning vaatles de Broglie poolt ennustatud interferentsimustrit. Juba 1919 olid Clinton Davisson ja tema assistent Lester Germer Bell Labsis läbi viidud eksperimendis vaadelnud niklikristallilt peegeldunud elektronkiire interferentsimustrit. Seletada õnnestus neil seda alles 1927 de Broglie teooria abil.

Moodsa kvantmehaanika teke

Moodne kvantmehaanika sai alguse 1925. aastal, mil Werner Heisenberg, Max Born ja Pascual Jordan formuleerisid maatriksmehaanika. Mõni kuu hiljem leiutas Erwin Schrödinger de Broglie mateerialainete teooriale tuginedes lainemehaanika ja pani kirja Schrödingeri võrrandi. Mõni aasta hiljem näidati, et mõlemad lähenemised on matemaatiliselt ekvivalentsed.

Määramatuse relatsiooni koordinaadi ja impulsi puhul kirjeldas esimesena Werner Heisenberg 1927. aastal. Samal aastal sõnastasid Bohr ja Heisenberg ka Kopenhaageni interpretatsiooni. Umbes 1927. aastal hakkas Paul Dirac töötama kvantmehaanika ja erirelatiivsusteooria ühendamise kallal. Samuti võttis ta 1930. aastal ilmunud raamatus kasutusele bra-ket-tähistuse. Samal ajal formuleeris John von Neumann kvantmehaanika range matemaatilise baasi, mida ta kirjeldas 1932. aastal ilmunud raamatus. Ta kasutas muu hulgas lineaarseid operaatoreid Hilberti ruumidel.

Sellel etapil saadud tulemused kehtivad tänini ning on kvantmehaaniliste küsimuseasetuste kirjeldamisel üldkasutatavad.

Põhijooned: elementaarsem esitus

Selles alajaotuses on aluseks võetud Kopenhaageni interpretatsioon

Vaadeldavad ja olekud

Füüsikas, eelkõige kvantmehaanikas, nimetatakse vaadeldavaks mõnd füüsikalise süsteemi olekut iseloomustavat suurust, mida on võimalik kindlaks määrata vaatluse või eksperimendi abil. Vaadeldavad on seega mõõdetavad suurused nagu näiteks asukoht või energia. Süsteemi olek on üldjuhul matemaatiline objekt, mis annab süsteemi ammendava kirjelduse – teades süsteemi olekut, oskame anda hinnangu kõikvõimalike süsteemi peal tehtavate mõõtmiste tulemuste kohta.

Klassikalise mehaanika raames määravad osakese oleku üheselt tema asukoht ja kiirus, kusjuures mõlemaid on võimalik samaaegselt (vähemalt teoorias) lõputult täpselt mõõta. Seetõttu puudub klassikalises mehaanikas vajadus vaadelda olekuid ja vaadeldavaid lahus, sest olek määrab mõõtmistulemused üheselt ja ümberpöördult.

Kvantmehaanikas pole aga osakese asukoht ja kiirus samal ajahetkel täpselt määratud: mida täpsemalt on teada osakese asukoht, seda ebamäärasema tulemuse annavad kiiruse mõõtmised ja vastupidi. Etteantud olek määrab üksnes tõenäosused ühe või teise mõõtmistulemuse saamiseks. Sellepärast tuleb kvantmehaanikas mõõdetavaid suurusi ning olekuid lahus vaadelda, kusjuures vaadeldavaid tuleb kvantmehaanikas kirjeldada teisiti kui klassikalises mehaanikas (matemaatiliselt kirjeldavad neid hermiitilised operaatorid). Olekuid kirjeldatakse nüüd olekuvektoritega, millele vaadeldavad operaatoritena mõjuvad. Olekuvektoreid nimetatakse tihti ka lihtsalt olekuteks.

Vaadeldavad kirjeldavad kvantmehaanilise süsteemi mõõdetavaid omadusi. Taolisteks mõõdetavateks suuruseteks on näiteks osakese asukoht, impulss ja impulsimoment. Vaadeldavate võimalikud väärtused on vastavate operaatorite omaväärtused. Iga omaväärtuse jaoks leidub olek (operaatori omaväärtusele vastav omavektor), milles oleva süsteemi mõõtmine annab mõõtmistulemuseks alati selle omaväärtuse. Sellist olekut nimetatakse vastava vaadeldava omaolekuks. Sel viisil sõltub mõõtmistulemus nagu klassikalises mehaanikaski olekust, milles süsteem parajasti on. See ei kehti aga kõigi vaadeldavate jaoks korraga – kui võime täpselt ennustada mõõtmistulemust ühe vaadeldava jaoks (st süsteem on selle vaadeldava omaolekus), siis leidub üldjuhul mõni teine vaadeldav, mille mõõtmise tulemused üheselt määratud pole.

Iga oleku saab esitada mõne vaadeldava omaolekute superpositsioonina (omaolekute normeeritud lineaarkombinatsioonina) – kompleksarvuga korrutatud omaolekute summana. Nii vastab igale omaolekule kompleksarv, mille mooduli ruut annab tõenäosuse, et vastava vaadeldava mõõtmisel saadakse mõõtmistulemuseks vastav omaväärtus (Borni interpretatsioon). Seetõttu nimetatakse neid arve Erwin Schrödingeri lainemehaanikas tõenäosusamplituudideks. Kui vaadeldavaks on asukoht, siis leiame, et olekut hakkab kirjeldama funktsioon, mille argumentideks on osakese võimalikud koordinaadid. Seda funktsiooni nimetatakse lainefunktsiooniks ning selle mooduli ruut annab tõenäosuse, et osake leitakse teatud punktist.

Schrödingeri võrrand

 Pikemalt artiklis Schrödingeri võrrand

Elektronide interferentsimuster pärast difraktsiooni kaksikpilus

Kvantsüsteemi dünaamikat kirjeldab Schrödingeri võrrand – diferentsiaalvõrrand, mille lahendamisel leiame, kuidas kvantmehaanilise süsteemi lainefunktsioon ajas muutuma hakkab. Schrödingeri võrrandi võib kirja panna järgmiselt:

$\mathrm {i} \hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\psi ={\hat {H}}\psi$,

kus Hamiltoni operaator ${\hat {H}}(t)$ kirjeldab kvantmehaanilise süsteemi koguenergiat. Hamiltoni operaator koosneb enamasti kahest liikmest, millest üks vastab süsteemi osakeste kineetilisele energiale ning teine nende potentsiaalsele energiale, kirjeldades nii välise välja mõju kui ka osakestevahelist interaktsiooni. Olekute muutumine ajas on seega täiesti deterministlik. Juhuslik komponent ilmub alles siis, kui soovime hakata süsteemi olekut mõõtma.

Schrödingeri võrrand ennustab kvantosakeste lainesarnast käitumist ja seeläbi kainterferentsi. Selle lineaarsusest tuleneb superpositsiooniprintsiip: kui $\psi _{1}$ ja $\psi _{2}$ on ühe ja sama Schrödingeri võrrandi lahendid, siis on seda ka nende summa $\psi _{1}+\psi _{2}$. Tõenäosus leida osakest punktis x on võrdeline mooduli ruuduga $|\psi _{1}(x)+\psi _{2}(x)|^{2}$. Kui need lainefunktsioonid ruumis perioodiliselt muutuma hakkavad, siis hakkame nägema interferentsi maksimume (piirkondi ruumis, kus osakese leidmise tõenäosus on suur) ja miinimume (piirkondi ruumis, kus osakese leidmise tõenäosus on väike või isegi olematu). Sarnane omadus on ka valgusel, mis tekitab näiteks kaksikpilu taga interferentsimustri. Sarnaseid interferentsikatseid on tehtud ka kvantmehaaniliste osakestega.

Kaksikpilu katse näitab nii lainefunktsiooni statistilist iseloomu kui ka interferentsiefekti. Selles katses saadetakse mikroskoopilised osakesed, näiteks elektronid, kahe teineteisele väga lähedal asetseva piluga takistuse poole. Klassikalise mehaanika järgi peaksid pilude taga moodustuma detekteeritud elektronide jaotuses kaks selgelt eristuvat "tippu". Seda võiks võrrelda olukorraga, kus kuulikesi lastakse kukkuda läbi kahe prao: nad moodustaksid kaks kuhja. Tegelikult tekib aga interferentsimuster.

Mõõtmisprotsess

 Pikemalt artiklis Mõõtmisprotsess

Kvantmehaanikas postuleeritav süsteemi oleku dünaamika seaduspärasus ja faktilised mõõtmistulemused näivad eelnevate selgituste põhjal olevat teineteisega otseses vastuolus. Ühelt poolt muutub süsteemi olek "rangelt deterministlikult", teiselt poolt on mõõtmistulemused "üksnes statistiliselt ennustatavad". Ühelt poolt "vastavad" süsteemi olekutele üldiselt omaolekute lineaarsed kombinatsioonid, teiselt poolt ei saada mõõtmisel kunagi ähmast pilti mitmest väärtusest, vaid saadakse alati ühesed väärtused. Selle näiva vastuolu seletamine ongi üks asi, millega tegelevad kvantmehaanika interpretatsioonid.

Üks interpretatsioonide klass, nn kollapsiteooriad, mille hulka kuulub ka Kopenhaageni interpretatsioon, seletab neid tõsiasju lainefunktsiooni kollapsiga, st süsteemi superpositsioonilise oleku üleminekuga mõõdetud suuruse ühte omaolekusse. Kvantmehaanika klassikalistes formuleeringutes toimub see kollaps mõõtmisprotsessis. See on vaid tavakeelne kirjeldus, ning paljud füüsikud ja interpreteerijad peavad vajalikuks füüsikaliste mõistete abil kirjeldada, mida täpselt "mõõtmine" tähendab. Asi on selles, et kui kvantmehaanika on maailma adekvaatne alusteooria, siis ta peab kirjeldama kõiki füüsikalisi süsteeme, sealhulgas mõõteriista dünaamika rangelt deterministliku kirjelduse ennast. Sel juhul aga saab ka mõõteriista dünaamika deterministliku kirjelduse kuni mõõtmise hetkeni, mil probleem kordub. Kirjeldatava kvantsüsteemi ja mõõteaparatuuri vahelise piiri tõmbamise probleemi nimetatakse demarkatsiooniprobleemiks.

Kopenhaageni interpretatsioon ise ei anna kollapsi põhjustamisele ja demarkatsiooniküsimustele sügavamat seletust: mõõtmist kirjeldatakse lihtsalt kvantsüsteemi ning klassikalise füüsikalise süsteemina vaadeldava mõõteriista vahelise vastastikuse toimena.

Määramatuse printsiip

 Pikemalt artiklis Määramatuse relatsioonid

Määramatuse printsiip väidab, et teatud füüsikaliste suuruste paarid, näiteks asukoht ja impulss, ei saa olla korraga täpselt määratud: ei eksisteeri selliseid olekuid, kus mõlemal suurusel oleks täpselt määratud väärtus. Taolisi suurusi nimetatakse komplementaarseteks. Viimast väidet võib interpreteerida mitmeti: Heisenbergi järgi on võimatu korraga määrata elektroni või mõne muu osakese impulsi ja asukohta kui tahes suure täpsusega. Teiste (näiteks Ballentine'i ) järgi ei tulene määramatuse printsiip mitte meie mõõteaparaadi puudulikkusest, vaid kvantsüsteemi sisemisest iseärasusest: kvantsüsteemil endal pole korraga täpselt määratud asukohta ja impulssi. Tuleb rõhutada, et kummalgil juhul ei ole määramatus kvantmehaanikas seatud mõõteaparaadi täpsusega, vaid on kvantsüsteemi olekut iseloomustav suurus.

Matemaatiliselt on määramatuse printsiip väljendatav Heisenbergi määramatuse relatsioonide abil. Impulsi ja asukoha jaoks kehtib

$\Delta X\Delta P\geq {\hbar \over 2},$

kus $\scriptstyle \Delta X={\sqrt {\langle (X-\langle X\rangle )^{2}\rangle }}$ on koordinaadi standardhälve, $\scriptstyle \Delta P={\sqrt {\langle (P-\langle P\rangle )^{2}\rangle }}$ on impulsi standardhälve ning $\scriptstyle \hbar$ on taandatud Plancki konstant. Sarnased relatsioonid kehtivad ka energia ja aja ning nurga ja impulsimomendi jaoks.

Aja ja energia määramatust oleks sobilikum nimetada süsteemi eluea ja energia määramatuseks. See väljendab asjaolu, et mida lühem on vaadeldava kvantsüsteemi (kvantoleku) eluiga, seda halvemini on määratud selle energia ja vastupidi. Näiteks aatomi ergastatud olekul on lõplik eluiga, mistõttu ei saa selle oleku energia täpselt määratud olla. Spektroskoopias väljendub viimane asjaolu spektrijoone laiuses: lühema elueaga olekutele vastavad laiemad spektrijooned.

Asukoha ja impulsi vaheline määramatuse relatsioon on lainelis-korpuskulaarse dualismi raames heuristiliselt taandatav ühele klassikalise lainemehaanika määramatuse relatsioonile.

Interpretatsioonid ja filosoofilised aspektid

 Pikemalt artiklis Kvantmehaanika interpretatsioonid

Empiirilise edukuse tõttu peetakse kvantmehaanikat üheks kõige kindlamal alusel olevatest füüsikateooriatest üldse. Senini ei ole ükski eksperiment kvantmehaanikat falsifitseerinud. Enamik füüsikuid eeldab, et kvantmehaanika võimaldab energia ja aine füüsikalisi omadusi "peaaegu" kõikidel juhtudel õigesti kirjeldada. Ometi on kvantmehaanikal kontseptuaalseid nõrkusi ja lünki, sealhulgas eriti gravitatsiooni kvantteooria (kvantgravitatsioon) puudumine ja tänini kestev diskussioon kvantmehaanika interpreteerimise üle.

Interpretatsioonid

Kui pidada kvantmehaanika matemaatilist mudelit füüsikanähtuste täielikuks kirjelduseks selle rakenduspiirkonnas, siis osutub, et mõõtmisprotsessi juures on üksikeksperimendi tulemuse juhuslikkusel teistsugune tähendus kui klassikaliste statistiliste teooriate puhul. Ka kvantmehaanilise oleku kõige täpsema prepareerimise puhul jaotuvad teatud mõõdetavate suuruste mõõtmistulemused teatud hulga võimalike mõõtmistulemuste vahel. Erinevalt näiteks statistilisest mehaanikast ei ole asi mitte eksperimentaatori suutmatuses olekut täpselt prepareerida ega ka mitte mõõteriista ebapiisavas täpsuses, vaid kvantmehaanika standardse interpretatsiooni kohaselt on tegemist selle suuruse mõõtmise põhimõttelise piiranguga selles olekus. Vaateviis, mille kohaselt kvantmehaanika annab hoolimata oma võimetusest üksikeksperimentide mõõtmistulemusi üheselt kirjeldada siiski looduse täieliku kirjelduse, väljendub ka arvamuses, et üksiksüsteemil ei olegi objektiivselt eksisteerivaid omadusi, mis vastaksid üksikule mõõtmistulemusele. Kvantmehaanilise oleku objektiivne omadus mingi mõõtmise kontekstis on vaid mõõtmistulemuste statistiline jaotus kogu ansambli mõõtmisel. Selles seoses räägitakse ka objektiivsest juhuslikkusest.

Vaidluse nende küsimuste üle avasid Albert Einstein ("Kvantmehaanika on ebatäielik" ja "Jumal ei mängi täringuid") ja Niels Bohr, kes rõhutas komplementaarsust ja kaitses Heisenbergi määramatuse relatsioone. Aastatepikkune äge diskussioon sundis Einsteini määramatuse relatsioone aktsepteerima, Bohr aga nõrgendas oma komplementaarsusideed tunduvalt, nii et kujunes praegu valdav Kopenhaageni interpretatsioon.

Praegu lähtub enamik füüsikuid sellest, et kvantmehaanika kirjeldab kõike, mida mingi süsteemi kohta teada oleks võimalik, ning mõõtmisprotsessid ei peegelda üksnes piiratud teadmist.

Kopenhaageni interpretatsioonis läheb vaatlusakt Schrödingeri võrrandist mööda ja süsteem satub ühe hetkega ühte omaolekutest (nn lainefunktsiooni kollaps).

Kopenhaageni interpretatsiooni kõrval on välja pakutud teisigi nimetamisväärseid interpretatsioone.

• David Bohm on välja töötanud varjatud muutujatega mittelokaalse teooria (Bohmi mehaanika), kus lainefunktsiooni interpreteeritakse osakese pilootfunktsioonina. See teooria annab täpselt samad empiirilised ennustused nagu mitterelativistliku kvantmehaanika Kopenhaageni interpretatsioon, nii et eksperimentaalselt nende vahel vahet teha ei saa. Kuigi see teooria on deterministlik, ei võimalda Heisenbergi määramatuse relatsioonid varjatud muutujate täpset teatavaks saamist. Sellest ja Bohmi teoorias postuleeritud kvanttasakaalujaotuse hüpoteesist järeldub, et mõõtmistulemused paistavad nii nagu Kopenhaageni tõlgenduse puhulgi olevat statistiliselt jaotunud vastavalt lainefunktsiooni ruudule. Praeguseks puudub lõplik kinnitus, et seda teooriat saab laiendada relativistlikule kvantmehaanikale. Sarnaseid varjatud muutujatega teooriaid on välja töötanud ka Louis de Broglie ja teised.
• Hugh Everetti paljude maailmade interpretatsioon väidab, et kõik kvantmehaanika poolt välistamata võimalused leiavad samaaegselt reaalselt aset universumis, mis koosneb paljudest, enamasti üksteisest sõltumatutes universumites. See interpretatsioon saab läbi ilma globaalse lainefunktsiooni kollapsita mõõtmisprotsessis: globaalne "paljude maailmade lainefunktsioon" muutub deterministlikult. Tõsiasi, et me vaatleme juhuslikkust ning näiliselt lainefunktsiooni kollapsit, tuleneb sellest, et me saame subjektiivselt vaadelda ainult ühte maailma, kuna aga meie teisikud teistes maailmades teevad teistsuguseid vaatlusi. Everetti interpretatsioonis on mõõtmine protsess, mida saab kirjeldada tavalise Schrödingeri võrrandiga, ilma et läheks tarvis mingit erikäsitlust.
• On olemas ka suund, mis püüab interpretatsiooniprobleeme lahendada klassikalise loogika asemel kvantloogika kasutusele võtmise teel.
• John G. Cramer töötas välja nn transaktsiooniinterpretatsiooni, mis põhineb kiirgaja ja neelaja vastastikustel toimetel, mis on suunatud nii tulevikku kui ka minevikku. Nagu Bohmi interpretatsioongi, on see interpretatsioon mittelokaalne ja kausaalne ning väldib kvantoleku kollapsit vaatlejast sõltuvas mõõtmisprotsessis.
• Kvantmehaanika kalduvusinterpretatsioon põhineb tõenäosuse tõlgendamisel teokssaamistendentsina ning püüab ühitada realismi, objektiivsust ning vaatlejast sõltumatust ja ajada läbi ilma lainelis-korpuskulaarse dualismita.

Vaata ka

• Kvantväljateooria

Kirjandus

• Sissejuhatus kvantmehaanikasse: sissejuhatus kvantteooriasse. Kvantmehaanika alused. Autor Rein-Karl Loide. Kirjastus Avita, 2007. ISBN 9789985212820.

Välislingid

• Füüsikud veavad loodusseaduste peale kihla – panused sadades tuhandetes! 20. märts 2023 postimees.ee (vaadatud 19.12.2023)