Koonuselõige

Koonuselõiked

Koonuselõige ehk koonuslõige on joon, mis tekib, kaksikkoonuse (pinna) lõikamisel tasandiga. Kaksikkoonus on selline geomeetriline kujund, kus kaks koonust, mis asuvad samal sümmeetriateljel puutuvad tippudega kokku, moodustades ühise tipu. Tegemist on koonustega, millel põhi puudub. Kaksikkoonuse külgpinda moodustavaks sirgeks on lõpmatult pikk sirge.

Kui lõikepind sisaldab koonuse tippu, siis lõige on kas punkt, sirge või lõikuvate sirgete paar. Selliseid koonuste tippu läbivaid tasandi lõikeid nimetatakse koonuselõigete kidunud lahenditeks. Kui lõikepind ei sisalda koonuse tippu, siis tekib ellips, parabool või hüperbool. Traditsiooniliselt vaadeldakse koonuselõigetes ringjoont kui ellipsi erijuhtu, kui ellipsit, mille ekstsentrilisus on 0.

Seda, et siis tekivad tõesti need geomeetriliste kohtadena tasandil defineeritud jooned, saab ilma arvutusteta tõestada Dandelini kerade abil.

Koonuselõiget võib vaadelda ka kvadriku kahemõõtmelise erijuhuna ning kirjeldada koonuselõike üldvõrrandiga, mis on 2. astme võrrand.

Koonuselõigete võrrandid

Ellips: definitsioon

Parabool: definitsioon

Hüperbool: definitsioon

Kõdunud koonuselõiked:
lõikuvate sirgete paar, paralleelsete sirgete paar, sirge, punkt

Koonuselõikeid saab sobivas x-y-koordinaadistikus kirjeldada 2. astme võrranditega:

• Ellips keskpunktiga M punktis (0,0) ja peateljega x-teljel:

${\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1,\quad b=|MS_{3}|,\qquad a,b\neq 0\quad ,$ (vaata joonist). (Kui $a=b=r$, saame ringjoone.)

• Parabool haripunktiga punktis (0,0) ja teljega y-teljel:

$y=ax^{2},\quad a={\frac {1}{4|SF|}},\qquad a\neq 0\quad ,$ (vaata joonist).

• Hüperbool keskpunktiga M punktis (0,0) ja peateljega x-teljel:

${\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1,\quad b^{2}=|MF_{1}|^{2}-a^{2},\qquad a,b\neq 0\quad ,$ (vaata joonist).

• Lõikuvate sirgete paar lõikepunktiga punktis (0,0):

$a^{2}x^{2}-y^{2}=0,\ a\neq 0.$

• Sirge läbi punkti (0,0):

$x^{2}=0.$

• Punkt, punkt (0,0):

$a^{2}x^{2}+b^{2}y^{2}=0,\ a,b\neq 0.$

Täielikkuse huvides võetakse juurde veel kaks juhtumit, mis ei ole päris koonuselõiked, mida aga saab samuti kirjeldada 2. astme võrranditega:

• Paralleelsete sirgete paar:

$x^{2}=a^{2},\ a\neq 0.$

• Tühi hulk:

$x^{2}+y^{2}=-1$ või $x^{2}=-1$.

Viimased kaks juhtumit esinevad püstise ringsilindri tasandiliste lõigetena. Silindrit saab võtta koonuse erijuhuna, mille korral koonuse tipp on lõpmatuses. Sellepärast arvatakse ka need juhtumid koonuselõigete hulka.

Ühikkoonuse tasandilised lõiked

Koonuselõigete juhtumid

Selleks et näidata, et ülalpool koonuselõigeteks nimetatud jooned ja punktid tõepoolest tekivad koonuse lõikamisel tasandiga, lõikame ühikkoonust (püstist ringkoonust) tasandiga, mis on paralleelne y-teljega.

Kaksikkoonuse nurgad

Koonuselõigete puhul vaadeldav põhjatu kaksikkoonus võib olla erinevate tipunurkadega, vahemikus 0 - 180 kraadi. Esimesel juhul võib mõelda, et nurk koonuse tipus muutub lõpmatult väikeseks, mis sisuliselt teeb kaksikkoonustest sirgjoone. Selline kaksikkoonuse moodustaja on sama, mis koonuse telg. Teises äärmuses muutub kaksikkoonuse tipunurk nürinurgaks, lähenedes 180 kraadile. Sellise koonuse moodustavad jooned lähenevad teineteisele ja kui need kattuvad, moodustavad kaks koonust tasapinna. Nende mõlema äärmusliku kaksikkoonuse puhul on kõik koonuselõiked kidunud/kõdunud lahendid. Kui oleks antud üks tipupunkt ja lõpmatult suur ruum ümberringi, siis saaks erinevate tipunurkadega kaksikkoonustega läbida kõiki punkte selles ruumis. Kui kaksikkoonustel oleks tipust samas kauguses, keskteljega risti olev põhi, moodustuks sama tipupunktiga ja kõikide võimalike erinevate tipunurkadega kaksikkoonustest kera.

Kaksikkoonus ja astronoomia

Kui teleskoobiga vaadelda meid ümbritsevat universumit, mis jääb Linnuteest väljapoole, siis näeme seda ligikaudu nürinurkse kaksikkoonuse kujulise ruumina. Meid ümbritsev galaktika ei võimalda näha külgede suunas, piki galaktika tasandit.

Vaata ka

• Apollonios Pergest
• Konfokaalsed koonuselõiked
• Juhtsirge
• Ekstsentrilisus
• Fookus

Kirjandus

• "Koonuselõiked"; Autor Rein Kolde. Sari Noore matemaatikahuvilise raamatukogu, Kirjastus Valgus, Tallinn 1991, 88 lk; ISBN 5440005854