Klassikalise elektromagnetismi kovariantne formuleering on klassikalise elektromagnetismi esitamine kovariantsel kujul erirelatiivsusteooria formalismi abil.
Kovariantsest esitusest saab rääkida ka üldrelatiivsusteooria kontekstis.
Lisaks asukoha, kiiruse ja impulsi neli-vektorite on elektromagnetvälja ja laetud osakeste kirjeldamiseks tarvis veel järgmisi matemaatilisi objekte:
Elektromagnetvälja tensoris on magnetiline induktsioon ja elektrivälja tugevus ühendatud üheks antisümmeetriliseks tensoriks. SI-süsteemi ühikutes on selle kuju
![{\displaystyle F_{\alpha \beta }=\left({\begin{matrix}0&E_{x}/c&E_{y}/c&E_{z}/c\\-E_{x}/c&0&-B_{z}&B_{y}\\-E_{y}/c&B_{z}&0&-B_{x}\\-E_{z}/c&-B_{y}&B_{x}&0\end{matrix}}\right)\,,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ffe98c012a0e4bfa03c7b6565a8c66ca941549e3)
kus
on elektrivälja tugevus,
on magnetiline induktsioon ja
on valguse kiirus.
Voolu neli-vektor on kontravariantne neli-vektor, mis ühendab elektrivoolu tiheduse ja laengutiheduse ühtseks neli-vektoriks. Esitatuna amprites ruutmeetri kohta on see kujul
![{\displaystyle J^{\alpha }=\,(c\rho ,{\boldsymbol {J}})\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bb2ed4132946872b556999fa551d64008b5ec6fd)
kus
on laengutihedus,
on voolutihedus, ja
on valguse kiirus.
Elektromagnetvälja neli-potentsiaal on elektrivälja skalaarsest potentsiaalist
ja magnetvälja vektorpotentsiaalist
moodustatud neli-vektor
.
Elektromagnetvälji avaldub 4-potentsiaali kaudu järgmiselt:
![{\displaystyle F_{\alpha \beta }=\partial _{\alpha }A_{\beta }-\partial _{\beta }A_{\alpha }\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/53561ed5c438af3dd5c0a2e17fd3402f5511773d)
kus
![{\displaystyle \partial _{\alpha }={\frac {\partial }{\partial x^{\alpha }}}=\left({\frac {1}{c}}{\frac {\partial }{\partial t}},{\boldsymbol {\nabla }}\right)\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7b1e0e242dad1abb6f18541890648f143ce76140)
Elektromagnetvälja energia-impulsi tensor[muuda | muuda lähteteksti]
Elektromagnetvälja energia-impulsi tensor on sümmeetriline kontravariantne tensor
![{\displaystyle T^{\alpha \beta }={\begin{bmatrix}{\frac {\epsilon _{0}}{2}}\left(E^{2}+c^{2}B^{2}\right)&S_{x}/c&S_{y}/c&S_{z}/c\\S_{x}/c&-\sigma _{xx}&-\sigma _{xy}&-\sigma _{xz}\\S_{y}/c&-\sigma _{yx}&-\sigma _{yy}&-\sigma _{yz}\\S_{z}/c&-\sigma _{zx}&-\sigma _{zy}&-\sigma _{zz}\end{bmatrix}}\,,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1b3202a6a1aa4719ff081c6bd620e13c7b5bb77e)
mis ühendab endasse Poyntingi vektori
![{\displaystyle {\boldsymbol {\rm {S}}}={\frac {1}{\mu _{0}}}{\boldsymbol {\rm {E}}}\times {\boldsymbol {\rm {B}}}\,,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1cfda897e83b61b755f2dfbab9bc99b37f4ef061)
elektromagnetvälja energiatiheduse
![{\displaystyle {\frac {\epsilon _{0}}{2}}\left(E^{2}+c^{2}B^{2}\right)\,,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b46b429781be5e45f1a9842791533f38777f7258)
ja Maxwelli pingetensori komponentidega
![{\displaystyle \sigma _{ij}=\epsilon _{0}E_{i}E_{j}+{\frac {1}{\mu _{0}}}B_{i}B_{j}-{\frac {\epsilon _{0}}{2}}\left(E^{2}+c^{2}B^{2}\right)\delta _{ij}\,,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/335f732e086d7f55dee850d4512f12a4cb1ffc92)
kus
on elektriline konstant,
on magnetiline konstant ja
on Minkowski meetrika. Ülal on kasutatud seost
![{\displaystyle c^{2}={\frac {1}{\epsilon _{0}\mu _{0}}}\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2fd9175dfacbed700a787912787d6ec81309fe83)
Kovariantses formuleeringus on Maxwelli võrrandite kuju võrdlemisi kompaktne:
,
kus
on elektromagnetvälja tensor,
on neli-vool,
on Levi-Civita sümbol ja üle korduvate indeksite summeeritakse Einsteini summeerimiskokkuleppe järgi.
Punktlaengu liikumisvõrrandite kovariantne kuju on
![{\displaystyle {\frac {dp_{\alpha }}{d\tau }}\,=q\,F_{\alpha \beta }\,u^{\beta }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/523f1114332cac6d74f9fa4423d57b51332e6a9d)
kus
on punktosakese neli-impulss,
on selle elektrilaeng,
on neli-kiirus ja
on osakese omaaeg. See võrrand on Newtoni II seaduse analoog relativistlikul juhul, kusjuures võrduse vasak pool on Lorentzi jõu kovariantne avaldis.
Laengu jäävusele vastava pidevuse võrrandi kovariantne kuju on
![{\displaystyle {J^{\alpha }}_{,\alpha }\,{\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\,\partial _{\alpha }J^{\alpha }\,=\,0\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6c4b93cd0759a6a2e4e0498f1ab469f73bf04ee0)