Biot'-Savarti seadus

Biot'-Savarti seadus (ka kujul Biot’-Savart’i-Laplace’i seadus) on elektromagnetismi seadus, mis kirjeldab statsionaarse (püsiva) elektrivoolu tekitatud magnetvälja. Biot'-Savarti seadusel on magnetostaatikas niisama oluline koht, nagu seda on Coulombi seadusel elektrostaatikas. Seadus toetub Ampère'i seadusele, mis määrab magnetväljas asuvale vooluga juhtmele mõjuva jõu, ja Gaussi magnetväljaseadusele .

Seadus on nimetatud Jean-Baptiste Biot' ja Félix Savarti järgi, kes avastasid selle elektri- ja magnetnähtuste vahelise seose 1820. aastal, kui nad uurisid magnetvälju, mida tekitab elektrivool erineva kujuga juhtmetes.

Pierre-Simon Laplace analüüsis Biot' ja Savarti katseandmeid ning andis seadusele üldistatud kuju. Laplace näitas ka, et selle seaduse abil saab arvutada liikuva elektrilaengu magnetvälja.

Tänapäeval käsitletakse seda seadust enamasti järeldustena kahest Maxwelli magnetvälja võrrandist, et arvesse võtta ka välja ajalist muutumist.

Voolujuhi magnetväli

Voolujuhi all mõeldakse elektrijuhti, mida läbib elektrivool. Voolujuhiks võib olla suvalise kujuga (sirge, kõver) juhe, ka juhtmekeerd või juhtmesilmus.

Näidatud on vektorite $Id{\boldsymbol {\ell }}$ ja ${\boldsymbol {{\hat {r}}'}}$ suunad ning vektori pikkus $|{\boldsymbol {r'}}|$

Biot'-Savarti seadus määrab voolu $I$ tekitatud magnetvälja (täpsemalt magnetiline induktsiooni ehk magnetvoo tiheduse) ${\boldsymbol {B}}$ kohas ${\boldsymbol {r}}$, mis on arvutatav kui voolu elementaarlõikude tekitatud magnetväljade vektorsumma. Matemaatiliselt on Biot'-Savarti seadus on väljendatav joonintegraalina üle vooluraja C:

${\boldsymbol {B}}({\boldsymbol {r}})={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int _{C}{\frac {Id{\boldsymbol {\ell }}\times {\boldsymbol {r'}}}{|{\boldsymbol {r'}}|^{3}}}$

kus $\times$ märgib vektorkorrutamist (vektorid on paksus kirjas)

$d{\boldsymbol {\ell }}$ on voolu diferentsiaalne pikkusvektor, mille suund ühtib positiivse elektrilaengu liikumise suunaga;

${\boldsymbol {r'}}={\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {\ell }}$ on vektor elemendist $d\ell$ kuni punktini ${\boldsymbol {r}}$, kus arvutatakse magnetvälja;

$\mu _{0}$ on magnetiline konstant.

Selle võrrandi saab esitada ka kujul

${\boldsymbol {B}}(\mathbf {r} )={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int _{C}{\frac {Id{\boldsymbol {\ell }}\times {\boldsymbol {{\hat {r}}'}}}{|{\boldsymbol {r'}}|^{2}}}$

kus ${\boldsymbol {{\hat {r}}'}}={\frac {\boldsymbol {r'}}{|{\boldsymbol {r'}}|}}$ on vektori ${\boldsymbol {r'}}$ suunaline ühikvektor ja $|{\boldsymbol {r'}}|$ on vektori ${\boldsymbol {r'}}$ pikkus.

Pika sirge juhtme magnetväli

Pika sirge voolujuhi magnetväli

Lõpmatult pika sirge voolujuhi iga punkti ümber kujuneb juhtme risttasandis magnetväli

${\boldsymbol {B}}={\frac {\mu _{0}\,I}{2\,\pi \,\rho }}\,{\boldsymbol {\hat {\phi }}}$

kus

$\rho$ on ristsunaline kaugus $z$-teljest;

${\boldsymbol {\hat {\phi }}}$ on ühikvektor silinderkoordinaatide (ruumiliste polaarkoordinaatide) nurga $\phi$ suunas.

Seega paiknevad magnetinduktsiooni ühesugused väärtused voolujuhti kontsentriliselt ümbritsevatel silindrilistel pindadel ja magnetinduktsioon vektorkujul

${\boldsymbol {B}}=-{\frac {\mu _{0}\,{\boldsymbol {I}}}{2\,\pi }}\times {\frac {1}{\boldsymbol {r}}}$

Järelikult muutub magnetinduktsioon pöördvõrdeliselt kaugusega ${\boldsymbol {r}}$ voolujuhist.

Voolusilmuse magnetväli

Voolusilmuse magnetväli

Ringikujulise voolusilmuse (-kontuuri) ümber tekkiva välja magnetinduktsiooni vektori pikkuse saab määrata kontuuri sümmeetriatelje (z-telje) risttasandil võrrandiga

$B\left(z\right)={\frac {\mu _{0}}{2}}\,{\frac {R^{2}I}{\left(R^{2}+z^{2}\right)^{3/2}}}$

kus

$R$ on xy-tasandil asetseva kontuuri raadius;

$z$ on välja määramise punkti P kaugus xy-tasandist.

Kui punkti P kaugus voolukontuurist on palju suurem selle raadiusest, nõrgeneb väli z-teljel ligikaudu võrdeliselt kauguse kolmanda astmega.

Mitmekeerulise voolujuhi magnetväli

Kui on tegemist mitmekeerulise voolujuhiga (pooliga), siis saab magnetvälja arvutada superpositsiooni põhimõttel:

${\boldsymbol {B}}({\boldsymbol {r}})={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\times \sum _{i=1}^{n}{I_{i}}\times \int {\frac {d{\boldsymbol {r'}}\times ({\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {r'}})}{|({\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {r'}}|^{3}}}$

Magnetväli jämedas voolujuhis

Eeltoodud valemid sobivad, kui voolujuht on väga peenike .(ristlõige läheneb nullile). Kui elektrijuht on teatud jämedusega, siis pideva voolujaotuse korral kombineeritakse voolutiheduse joonintegraal piki juhti pindintegraaliga ja inegreritakse üle kogu juhtme ruumala V:

${\boldsymbol {B}}({\boldsymbol {r}})={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\iiint _{V}\ {\frac {({\boldsymbol {J}}\,dV)\times {\boldsymbol {r}}'}{|{\boldsymbol {r}}'|^{3}}}$

või väljendatuna ühikvektori ${\boldsymbol {{\hat {r}}'}}$ kaudu:

${\boldsymbol {B}}({\boldsymbol {r}})={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\iiint _{V}\ {\frac {({\boldsymbol {J}}\,dV)\times {\boldsymbol {{\hat {r}}'}}}{|{\boldsymbol {r}}'|^{2}}}$

kus $dV$ on ruumiosa ja ${\boldsymbol {J}}$ on voolutiheduse vektor selles ruumiosas (SI-süsteemis on ühikuks A/m²).

Konstantsel kiirusel liikuva punktlaengu elektri- ja magnetväli

Kui punktlaenguga q osake liigub konstantse kiirusega v, väljendavad elektrivälja ja magnetvälja Maxwelli võrrandid:

${\boldsymbol {E}}={\frac {q}{4\pi \epsilon _{0}}}{\frac {1-v^{2}/c^{2}}{(1-v^{2}\sin ^{2}\theta /c^{2})^{3/2}}}{\frac {\boldsymbol {{\hat {r}}'}}{|{\boldsymbol {r}}'|^{2}}}$

${\boldsymbol {H}}={\boldsymbol {v}}\times {\boldsymbol {D}}$ või ${\boldsymbol {B}}={\frac {1}{c^{2}}}{\boldsymbol {v}}\times {\boldsymbol {E}}$

kus ${\boldsymbol {\hat {r}}}'$ on ühikvektor, mis on osakese algsest asendist suunatud punkti, kus välja määratakse, ning θ on nurk ${\boldsymbol {v}}$ ja ${\boldsymbol {r}}'$ vahel.

Kui v² ≪ c², siis saab elektrivälja ja magnetvälja avaldada lihtsustud kujul:

${\boldsymbol {E}}={\frac {q}{4\pi \epsilon _{0}}}\ {\frac {\boldsymbol {{\hat {r}}'}}{|{\boldsymbol {r}}'|^{2}}}$

${\boldsymbol {B}}={\frac {\mu _{0}q}{4\pi }}{\boldsymbol {v}}\times {\frac {\boldsymbol {{\hat {r}}'}}{|{\boldsymbol {r}}'|^{2}}}$

Neid võrrandeid nimetatakse Biot'-Savarti seaduseks punktlaengu jaoks, mis tuleneb nende sarnasusest eelnevalt esitatud Biot'-Savarti võrranditega. Need võrrandid tuletas esimesena Oliver Heaviside 1888. aastal.

Biot'-Savarti seadus, Ampère'i seadus ja Gaussi seadus magnetvälja kohta

Magnetostaatikas magnetinduktsioon ${\boldsymbol {B}}$, mis on leitud Biot'-Savarti seaduse abil, rahuldab alati Gaussi seadust magnetvälja kohta ja Ampère'i seadust.

Tõestus

Kui Biot'-Savarti seaduse võrrandis ${\boldsymbol {B}}({\boldsymbol {r}})={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\iiint _{V}d^{3}l{\boldsymbol {J}}({\boldsymbol {l}})\times {\frac {{\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {l}}}{|{\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {l}}|^{3}}}$ teha asendus ${\frac {{\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {l}}}{|{\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {l}}|^{3}}}=-\nabla \left({\frac {1}{|{\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {l}}|}}\right)$ ja kasutada rootorite vektorkorrutist ning teadmist, et J ei sõltu ${\boldsymbol {r}}$-ist, saab võrrandi kirjutada kujul ${\boldsymbol {B}}({\boldsymbol {r}})={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\nabla \times \iiint _{V}d^{3}l{\frac {{\boldsymbol {J}}({\boldsymbol {l}})}{|{\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {l}}|}}.$ Kuna rootori divergents on alati null, siis see sätestab Gaussi seaduse magnetväljade kohta. Korrutades mõlemad pooled rootoriga, siis on tulemuseks $\nabla \times {\boldsymbol {B}}={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\nabla \iiint _{V}d^{3}l{\boldsymbol {J}}({\boldsymbol {l}})\cdot \nabla \left({\frac {1}{|{\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {l}}|}}\right)-{\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\iiint _{V}d^{3}l{\boldsymbol {J}}({\boldsymbol {l}})\nabla ^{2}\left({\frac {1}{|{\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {l}}|}}\right)$ Viimaks, viies sisse seosed $\nabla \left({\frac {1}{|{\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {l}}|}}\right)=-\nabla _{l}\left({\frac {1}{|{\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {l}}|}}\right),$ $\nabla ^{2}\left({\frac {1}{|{\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {l}}|}}\right)=-4\pi \delta ({\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {l}})$ (δ on Dirac'i deltafunktsioon), kasutades asjaolu, et ${\boldsymbol {J}}$ divergents on null (eeldusel, et tegemist on magnetostaatikaga) ja teostades ositi integreerimise, siis tulemuseks on $\nabla \times {\boldsymbol {B}}=\mu _{0}{\boldsymbol {J}}$ See on Ampère'i seadus. (Kuna eeldati, et tegemist on magnetostaatikaga, siis $\partial {\boldsymbol {E}}/\partial t={\boldsymbol {0}}$.)

Mittemagnetostaatilises olukorras Biot'-Savarti seadus enam ei kehti, aga Gaussi seadus magnetvälja kohta ja Ampère'i seadus kehtivad.

Kui magnetostaatika tingimused ei kehti, siis tuleks Biot'-Savarti seadus asendada Jefimenko võrranditega. Koos pidevusvõrrandiga (ingl continuity equation) on Jefimenko võrrandid ekvivalentsed Maxwelli võrranditega.

Rakendused aerodünaamikas

Biot'-Savarti seadus leiab kasutust ka aerodünaamikas, et leida kiirust, mida põhjustavad õhupöörised. Aerodünaamika rakendustes on pööriselise välja ja voolu rollid vahetatud, võrreldes elektromagnetilise rakendusega.

Maxwelli järgi on magnetvälja tugevus H otseselt võrdsustatud pööriselisusega.

Vaata ka

• Elektromagnetism
• Ampère'i seadus
• Coulombi seadus
• Maxwelli võrrandid

Välislingid

• Biot–Savart–Laplace law