Järjestatud paar

Järjestatud paar koondab kaks objekti: esimese elemendi ja teise elemendi. Järjestatud paari, mille esimene element on a ja teine element b, märgitakse tavaliselt (a; b).

Kaks niisugust järjestatud paari (a₁; b₁) ja (a₂; b₂) on identsed siis ja ainult siis, kui a₁ = a₂ ja b₁ = b₂.

Järjestatud paari esimene ja teine element võetakse teineteisest sõltumatult, nii et nad võivad ka omavahel kokku langeda. Kui need kaks objekti on erinevad, siis nende järjestus on oluline: kui a≠b, siis (a; b)≠(b; a).

Järjestatud paari tõlgendatakse sageli lõpliku jadana pikkusega 2.

Otsekorrutised ja seosed

Kõikide niisuguste järjestatud paaride hulka, mille esimene element on mingi hulga X element ja mille teine element on mingi hulga Y element, nimetatakse hulkade X ja Y otsekorrutiseks. Selle alamhulki nimetatakse mõnikord vastavusteks või seosteks.

Järjestatud kolmikud ja n-korteežid

Järjestatud kolmikud ja n-korteežid (n termini järjestatud loendid) defineeritakse sellest definitsioonist lähtudes rekursiivselt: järjestatud kolmikut (a;b;c) võib defineerida kahe järjestatud paarina, mis on pesastatud: (a; (b; c) ).

Järjestatud paarid programmeerimises

Nii tehakse ka programmeerimiskeeltes: elementide loendit saab esitada konstruktsioonina pesastatud järjestatud paaridest. Näiteks loendit (1 2 3 4 5) esitatakse kujul (1, (2, (3, (4, (5, {}))))). Programmeerimiskeel LISP kasutab selliseid loendeid andmete esitamise põhilise vahendina.

Järjestatud paarid hulgateoorias

Puhtas hulgateoorias, kus on ainult hulgad, saab järjestatud paari (a; b) defineerida hulgana { {a}, {a, b} }. Propositsiooni, et x on järjestatud paari p esimene element, saab siis formuleerida nii:

∀Y∈p : x∈Y;

ja propositsiooni, et x on järjestatud paari p teine element, saab formuleerida nii:

(∃Y∈p : x∈Y) ∧ (∀Y₁∈p, ∀Y₂ ∈p : Y₁≠Y₂ → (¬ (x∈Y₁) ∨ ¬ (x∈Y₂))).

See definitsioon kehtib ka järjestatud paari p = (x;x) = { {x}; {x,x} } = { {x}; {x} } = { {x} } korral; sel juhul on propositsioon (∀ Y₁ ∈ p, ∀ Y₂ ∈ p : Y₁ ≠ Y₂ → (¬(x ∈ Y₁) ∨ ¬(x ∈ Y₂))) triviaalselt tõene, sest kunagi pole nii, et Y₁ ≠ Y₂.

Ka hulgateooria tavalises Zermelo-Fraenkeli aksiomaatikas, millesse kuulub regulaarsuse aksioom, saab järjestatud paari (a; b) defineerida hulgana {a; {a; b}}. Ilma regulaarsuse aksioomita seda teha ei saa, sest muidu saab vaadelda hulki x ja z, mille korral x = {z}, z = {x} ja x ≠ z. Sel juhul

(x; x) = {x; {x; x}} = {x; {x}} = {x; z} = {z; x} = {z; {z}} = {z; {z; z}} = (z; z)

kuigi me tahaksime, et (x;x) ≠ (z;z).

Vaata ka

• järjestatud hulk