Osaliselt järjestatud hulk

Osaliselt järjestatud hulk ehk järjestatud hulk on hulk P, millel on defineeritud binaarne seos ≤ (osaline järjestus), mis on refleksiivne, transitiivne ja antisümmeetriline, ehk teiste sõnadega, hulga P mis tahes elementide a, b ja c puhul kehtivad tingimused

a ≤ a (refleksiivsus)

kui a ≤ b ja b ≤ c, siis a ≤ c (transitiivsus)

kui a ≤ b ja b ≤ a, siis a = b (antisümmeetrilisus)

Nii naturaalarvude, täisarvude, ratsionaalarvude ja reaalarvude tavapärane järjestus on osaline järjestus. Ent nende järjestuste puhul on tegemist lineaarse järjestuse, ehk teiste sõnadega, hulga P mis tahes erinevate elementide korral kehtib lisatingimus:

a ≤ b või b ≤ a (täielikkus)

Lineaarselt järjestatud hulka nimetatakse ka ahelaks. Enamik klassikalisi järjestusi on küll lineaarsed, kuid hulkade järjestus, mis tekib sellest, et üks hulk võib olla teise alamhulk, ei ole lineaarne.

Taust ja motiveering

Järjestusi kohtab kõikjal, vähemalt matemaatikas ja selle naabervaldkondades, näiteks informaatikas. Esimene järjestus, millega puututakse kokku juba algkoolimatemaatikas, on naturaalarvude järjestus ≤. See intuitiivne mõiste on hõlpsasti ülekantav teistele arvuhulkadele, nagu näiteks täisarvudele ja reaalarvudele. Ettekujutus, et üks arv on teisega võrdne või teisest väiksem, on üks põhiline arvudega seotud intuitsioon üldse (kuigi tavaliselt pakub huvi ainult kahe arvu vahe, mis järjestusega pole kindlaks määratud). Teine igapäevane näide on sõnade tähestikuline järjestus sõnastikus.

Ülalmainitud järjestustel on üks eriomadus: iga elementi saab võrrelda mis tahes teise elemendiga, ehk teiste sõnadega, ta on teisest suurem, teisest väiksem või teisega võrdne. See nõue ei ole siiski alati soovitav. Üks tuntud näide on hulkade järjestus, mis seisneb selles, et üks hulk võib olla teise alamhulk. Kui kõik ühe hulga elemendid on ühtlasi teise hulga elemendid, siis võib öelda, et esimene hulk on teisest hulgast väiksem või teise hulgaga võrdne. Kuid on hulki, mida ei saa teineteisega sel kombel võrrelda, sest kummaski on elemente, mis teises puuduvad. Seega on tegemist osalise järjestusega, mitte täieliku ehk lineaarse järjestusega nagu ülaltoodud näidetes.