Reaalarvude hulk

Reaalarvude hulk on hulk, mille elementideks on kõik reaalarvud. Reaalarvude hulga tähis on $\mathbb {R}$ või R.

Reaalarvude hulgaga seatakse üksühesesse vastavusse arvsirge. Reaalarvude hulka ennast koos sellele iseloomulike loomulike struktuuridega vaadeldakse reaalsirgena ja reaalarvude korpusena.

Võimsus

Reaalarvude hulga $\mathbb {R}$ võimsus on kontiinuumi võimsus ${\mathfrak {c}}$. See on suurem kui naturaalarvude hulga võimsus (loenduva hulga võimsus) $\aleph _{0}$, mis on vähim lõpmatu võimsus. Seega on reaalarvude hulk mitteloenduv hulk. Seda tõestab Cantori diagonaaltõestus. Mitteloenduvus tähendab, et iga reaalarvude nimekiri $x_{1},x_{2},x_{3},\ldots$, mis on nummerdatud naturaalarvudega, on mittetäielik.

Et reaalarvude hulk on võrdvõimas naturaalarvude hulga astmehulgaga, tähistatakse tema võimsust ka $2^{\aleph _{0}}$.

Ratsionaalarvude hulk ja isegi algebraliste arvude hulk on võrdvõimsad naturaalarvude hulgaga, seega loenduvad. Esimest tõestab Cantori esimene diagonaaltõestus. Mitteloenduvuse tekitab niisiis alles transtsendentsete arvude juurdevõtmine.

Hulgateoorias otsiti pärast Georg Cantori avastusi vastust küsimusele, kas on olemas loenduva hulga võimsuse $\aleph _{0}$ ja reaalarvude hulga võimsuse vahepealne võimsus või kas iga reaalarvude hulga mitteloenduv alamhulk on võrdvõimas kõigi reaalarvude hulgaga. Oletust, et vastus esimesele küsimusele on eitav ja teisele jaatav, nimetatakse kontiinuumihüpoteesiks. Lühidalt ütleb see, et $2^{\aleph _{0}}=\aleph _{1}$.

Osutus, et tavalistest hulgateooria aksiomaatikatest, sealhulgas valikuaksioomiga Zermelo-Fraenkeli aksiomaatikast, on kontiinuumihüpotees sõltumatu, st teda ei saa nende süsteemide raames tõestada ega ümber lükata.