Korpuse laiend

Korpuse $K$ laiend ehk ülemkorpus on korpus $E$, mille alamkorpus korpus $K$ on.

Laiendite uurimine on korpuseteoorias tähtis, sest iga korpuste homomorfism on laiend.

Põhidefinitsioonid

Kui E on korpus, siis selle alamkorpus on selle alamhulk K, mis on kinnine liitmise ja korrutamise ning pöördelemendi ja vastandelemendi võtmise suhtes ning sisaldab ühikelementi ja millel on defineeritud kõik needsamad algebralised tehted mis korpuses E. Siis korpust E nimetatakse korpuse K laiendiks. Seda laiendit tähistatakse $E\supset K$, $E/K$ või $K\subset E$). Seda tähistust tõlgendatakse sageli korpuste paarina, ja sageli nimetatakse laiendiks seda paari. Korpuste homomorfism on alati injektiivne, st on sisestus. Sellest järeldub, et konkreetse laiendi $E\supset K$ etteandmine on samaväärne homomorfismi $f:K\to E$ etteandmisega.

Kui on antud laiend $E\supset K$ ja korpuse E alamhulk S, siis korpuse E vähimat alamkorpust, mis sisaldab korpust K ja hulka S, tähistatakse $K(S)$ ja nimetatakse hulga S tekitatud korpuseks üle korpuse K. Üheelemendilise hulga tekitatud laiendeid nimetatakse lihtsateks laienditeks, lõpliku hulga tekitatud laiendeid nimetatakse lõplikult tekitatud laienditeks.

Iga laiendi $E\supset K$ korral on E vektorruum üle korpuse K. Siis saab E elemente käsitada "vektoritena". K elemente "skalaaridena, vektori korrutamise skalaariga annab korrutamine korpuses E. Selle vektorruumi mõõdet nimetatakse laiendi astmeks ja tähistatakse $[E:K]$. 1. astme laiendit nimetatakse triviaalseks laiendiks, 2. ja 3. astme laiendit vastavalt ruutlaiendiks ja kuuplaiendiks. Kui laiendil on lõplik aste, nimetatakse seda lõplikuks laiendiks, vastasel juhtumil lõpmatuks laiendiks.

Näited

Kompleksarvude korpus $\mathbb {C}$ on reaalarvude korpuse $\mathbb {R}$ laiend. See laiend on lõplik: $[\mathbb {C} :\mathbb {R} ]=2$, sest (1, i) on baas. Reaalarvude korpus on omakorda ratsionaalarvude korpuse laiend; selle laiendi aste on kontiinumi võimsus, sellepärast on see laiend lõpmatu.

Hulk $\{a+b{\sqrt {2}}\;|\;a,b\in \mathbb {Q} \}$ on korpuse $\mathbb {Q}$ laiend, mis on ilmselt lihtne. Korpuse $\mathbb {Q}$ lõplikke laiendeid nimetatakse algebralisteks arvukorpusteks ja need on algebralise arvuteooria tähtis uurimisobjekt.

Tavaline antud korpuse laiendamise protseduur, mis võimaldab lisada sellesse polünoomi f(x) juure, on polünoomide ringi faktorringi võtmine polünoomi f(x) tekitatud peaideaali järgi. Olgu K näiteks korpus, mis ei sisalda võrrandi $x^{2}=-1$ juurt. Siis polünoom $x^{2}+1$ on korpuses K taandumatu, järelikult ideaal $(x^{2}+1)$ on maksimaalne, seega faktorring $K[x]/(x^{2}+1)$ on korpus. See korpus sisaldab võrrandi $x^{2}+1=0$ juurt: see on polünoomi $x$ kujutis faktoriseerimiskujutuse puhul. Kui seda protseduuri mitu korda korrata, võib saada antud polünoomi lahutuskorpuse, s.o korpuse, milles antud polünoom lahutub lineaarteguriteks.

Algebralisus ja transtsendentsus

Olgu E korpuse K laiend. Korpuse E elementi nimetatakse algebraliseks üle korpuse K, kui ta on juur mingist (nullpolünoomist erinevast) polünoomist kordajatega korpuses K. Mittealgebralisi elemente nimetatakse transtsendentseteks. Näiteks laiendi $\mathbb {C} \supset \mathbb {R}$ puhul on imaginaarühik algebraline element, sest ta rahuldab võrrandit $x^{2}+1=0$.

Eriti tähtis on laiend $\mathbb {C} \supset \mathbb {Q}$: termineid "algebraline arv" ja "transtsendentne arv" (põhikorpust mainimata) kasutatakse just seda laiendit silmas pidades.

Kui laiendi $E\supset K$ iga element on algebraline üle K, siis laiendit $E\supset K$ nimetatakse algebraliseks lаiendiks. Mittealgebralisi laiendeid nimetatakse transtsendentseteks.

Korpuse E alamhulka S nimetatakse algebraliselt sõltumatuks üle K, kui ei leidu (nullpolünoomist erinevat) lõpliku arvu muutujate polünoomi kordajatega korpuses K, millesse lõpliku arvu hulga S sisseasetamisel saadakse nullelement. Algebraliselt sõltumatu hulga suurimat võimsust nimetatakse antud laiendi transtsendentsuse astmeks. Iga laiendi korral võib leida niisuguse algebraliselt sõltumatu hulga S, et $E\supset K(S)$ on algebraline laiend. Seda tingimust rahuldavat hulka S nimetatakse selle laiendi transtsendentsusbaasiks. Kõigi transtsendentsusbaaside võimsus võrdub laiendi transtsendentsusastmega.

Kui lihtne laiend on tekitatud algebralise elemendiga, siis ta on lõplik laiend. Vastasel juhtumil on korpuse E ainsad elemendid, mis on algebralised üle korpuse K, korpuse K elemendid ise.

Galois' laiendid

Algebralist laiendit $E\supset K$ nimetatakse normaalseks laiendiks, kui iga taandumatu polünoom $f(x)$ üle korpuse $K$, millel on vähemalt üks juur korpuses в $E$, lahutub $E$ lineaarteguriteks.

Algebralist laiendit $E\supset K$ nimetatakse separaabliks laiendiks, kui korpuse E iga element on separaabel, st tema minimaalsel polünoomil ei ole kordseid juuri. Teoreem primitiivsest elemendist väidab, et igal lõplikul separaablil laiendil on primitiivne element. Galois' laiend on laiend, mis on ühtaegu separaabel ja normaalne.

Iga laiendi $E\supset K$ puhul võib vaadelda korpuse E niisuguste automorfismide hulka, mis jätavad korpuse K elemendid paigale. Kui laiend on Galois' laiend, siis seda rühma nimetatakse laiendi Galois' rühmaks.

Laiendi $E\supset K$ puhul on sageli kasulik kirjeldada vahekorpusi. Galois' teooria põhiteoreem väidab, et vahekorpuste hulga ja Galois' rühma alamrühmade hulga vahel on bijektsioon, mis pöörab sisalduvusjärjestuse ümber.