Kasutaja:U.schults/Aknafunktsioon

Aknafunktsioon on signaalitöötluses ja statistikas kasutatud matemaatiline funktsioon, mis on null, välja arvatud valitud vahemikus. See vahemik on tavaliselt keskelt sümmeetriline ja maksimaalne ning kahaneb äärtes. Matemaatikas, kui üks funktsioon või signaal korrutatakse akna funktsiooniga on tulemus ka null välja arvatud selles vahemikus. Ehk alles on vahemik, kus need kaks funktsiooni kattuvad.

Kasutusvaldkonnad

Peamiselt kasutatakse aknafunktsioone, et vähendata spektraalleket teisenduste ajal. Fourier' pööre eeldab, et teisendatav signaal on perioodiline, kuigi seda on ta harva. Iga lahknevus signaali lõpu ja alguse vahel tekitab võõrsagedusi. Eemaldades erinevust signaali lõpu ja alguse vahel saab seda viga vähendada. Seega akna kasutamine vähendab signaali äärtes tekkinud katkemise amplituudi.

Filtri disain

Aknafunktsioone kasutatakse ka lõpliku siirdega filtri (FIR) loomisel, kus seda kasutatakse sumbumuse kontrollimiseks. Näiteks kastakna kasutamisel on maksimaalne sumbumine 21 dB aga Hammingu akna kasutamisel 54 dB.

Spektraalleke

See on signaalispektri tipu võltslaienemine, mis on tingitud ajadiskreedi mittepreioodiliselt lainekujust.

FFT algoritm eeldab, et ajakirje signaal kordub alati ühesugusena ja kõik selles sisalduvad signaalid on perioodilised. Mittetäisarvuline signaali perioodide arv ajakirjes rikub seda tingimust ja põhjustab spektraalleket.

Aknafunktsiooni valimine

• Kui signaal sisaldab segavaid sagedusi kaugel huvipakkuvatest sagedustest, tuleks valida suure roll-off rate'iga aken
• Kui signaal sisaldab segavaid sagedusi huvipakkuvate signaalide lähedal, tuleks valida aken, mille on madal kõrvalsagarate amplituud.
• Kui signaal sisaldab kahte või rohkem sagedust lähedal üksteisele, tuleks valida aken, millel on suur sageduste eraldusvõime ehk kitsa põhisagaraga aken
• Kui tähtis on ühe sageduskomponendi amplituudi täpsus, tuleks valida laia põhisagaraga aken.

• Üldiselt on Hanningu aken kasulik 95 protsendil juhtudest. Sel on hea sageduse eraldusvõime ja vähendatud spektraalleke.

Hea akna leidmiseks tuleks testida mitmeid aknaid ja valida sobilik.

Statistika

Aknafunktsioone kasutatakse vahel statistilises analüüsis, et piirata andmehulka kindla punkti ümber. Vähendades kõrvalolevate andmepunktide mõju kindla vähenemiskordajaga.

Erinevad aknafunktsioonid

Kast aknafunktsioon

Tuntud ka kui Dirichlet'i aken. On kõige lihtsam aknafunktsioon, kus kõik väärtused aknast väljaspool asendatakse nullidega.

Kast aken

$w[n]=1.$

Kõik teised aknad on loodud, et sujuda signaali algust ja lõppu, mis vähendab scalloping loss'i ja parandab dünaamilist ulatust.

Kast aken on esimese astme B-spline aken.

B-spline aknad

Kolmnurk aknafunktsioon

Kolmnurk aken, kus L = N + 1

$w[n]=1-\left|{\frac {n-{\frac {N}{2}}}{\frac {L}{2}}}\right|,\quad 0\leq n\leq N$

Kus L võib olla N, N + 1 või N + 2. Esimene on tuntud ka kui Bartletti või Fejér'i aken.

Aknafunktsioon on teise astme B-spline aken.

Siinus aknafunktsioon

Siinus aken

$w[n]=\sin \left({\frac {\pi n}{N}}\right)=\cos \left({\frac {\pi n}{N}}-{\frac {\pi }{2}}\right),\quad 0\leq n\leq N.$

Koosinuste summa aknafunktsioonid

Hanni ja Hammingu aknad

Tavapärane koosinuste summa aken, kui K = 1:

Hann'i aken

Hamming'u aken, kus α₀ = 0.53836 ja a₁ = 0.46164

$w[n]=a_{0}-\underbrace {(1-a_{0})} _{a_{1}}\cdot \cos \left({\tfrac {2\pi n}{N}}\right),\quad 0\leq n\leq N$

seades a₀ = 0.5, saame Hanni akna:

$w[n]=0.5\;\left[1-\cos \left({\frac {2\pi n}{N}}\right)\right]=\sin ^{2}\left({\frac {\pi n}{N}}\right)$

nimetatud Julius von Hanni järgi. Hanni akna äärepunktid puutuvad nulli, Hammingu aken mitte. Tulemusena kõrvalsagarad kahanevad umbes 18 dB oktavi kohta.

Seades a₀ = 0.54, või täpsemalt 25/46 saame Hammingu akna. Välja pakutud Richard W. Hammingu poolt. See valik eemaldab esimese kõrvalsagara sagedusel 5$\pi$/(N−1)

Reguleeritavad aknafunktsioonid

Gaussian'i aken

Gaussian'i aken, kus σ = 0.4

$w[n]=\exp \left(-{\frac {1}{2}}\left({\frac {n-N/2}{\sigma N/2}}\right)^{2}\right),\quad 0\leq n\leq N$

$\sigma \leq \;0.5\,$

Tukey'i aken

Tukey'i aken, kus α = 0.5

$\left.{\begin{array}{lll}w[n]={\frac {1}{2}}\left[1-\cos \left({\frac {2\pi n}{\alpha N}}\right)\right],\quad &0\leq n<{\frac {\alpha N}{2}}\\w[n]=1,\quad &{\frac {\alpha N}{2}}\leq n\leq {\frac {N}{2}}\\w[N-n]=w[n],\quad &0\leq n\leq {\frac {N}{2}}\end{array}}\right\}$

α = 0 juures see funktsioon on kast aken ja α = 1 juures see on Hanni aken.

Poissoni aken

Poisson'i aken või üldisemalt eksponentsiaalaken kasvab eksponentsiaalselt akna keskosani ja langeb eksponentsiaalselt keskelt lõpu poole. Kuna eksponentfunktsioon ei jõua kunagi nullini, siis akna väärtused akna äärtes ei ole nullid.

Poisson'i aknafunktsiooni valem:

Eksponentsiaalaken ehk Poisson'i aken

$w[n]=e^{-\left|n-{\frac {N}{2}}\right|{\frac {1}{\tau }}},$

kus τ on aja konstant. Eksponentfunktsioon kahaneb 8.69 dB võrra ajakonstandi kohta. See tähendab, et leitava languse D dB kohta poole akna pikkuse kohta on τ: $\tau ={\frac {N}{2}}{\frac {8.69}{D}}.$

Hübriid aknafunktsioonid

Hübriid aknafunktsioon on kombinatsioon erinevatest akendest, neid korrutades või liites.

Bartlett-Hann aken

Bartlett-Hann'i aken

$w[n]=a_{0}-a_{1}\left|{\frac {n}{N}}-{\frac {1}{2}}\right|-a_{2}\cos \left({\frac {2\pi n}{N}}\right)$

$a_{0}=0.62;\quad a_{1}=0.48;\quad a_{2}=0.38\,$

Hann-Poissoni aken

Saadakse, korrutades Hanni akna Poisson'i aknaga. Kui $\alpha \geqslant 2$, siis sel pole kõrvalsagaraid, sest Fourier' pööre kahaneb ilma miinimumita. Seda kasutatakse hill climbing algoritmides nagu Newtoni meetod.

Hann–Poisson'i aken, kus α = 2

$w[n]={\frac {1}{2}}\left(1-\cos \left({\frac {2\pi n}{N}}\right)\right)e^{\frac {-\alpha \left|N-2n\right|}{N}}\,$,

kus α määrab eksponendi kalde.

Kahe dimensioonilised aknafunktsioonid

Kahe dimensionaalseid aknaid kasutatakse sagedasti pilditöötluses, et vähendada ebavajalikke kõrgsagedusi pildi Fourier'i pöördelt.

Vaata ka

1. Fourier' pööre
2. Lõpliku siirdega filter (FIR)
3. Sagedusruum
4. Konvolutsioon