Algebraline muutkond

Algebraline muutkond klassikalises mõttes on mõne reaalarvluliste või kompleksarvuliste muutujatega algebraliste võrrandite süsteemi kõigi lahendite hulk.

Iga algebraline muutkond on seega kõikide selliste punktide hulk, mille koordinaadid $x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}$ rahuldavad mõnd võrrandisüsteemi

$\left\{{\begin{array}{l}f_{1}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})=0,\\f_{2}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})=0,\\\cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots ,\\f_{m}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})=0,\end{array}}\right.$

kus $f_{1},f_{2},\ldots ,f_{m}$ on polünoomid.

Tänapäeva algebralises geomeetrias on algebralise muutkonna mõistet mitmel viisil üldistatud, püüdes säilitada sellele definitsioonile vastavat geomeetrilist intuitsiooni.

Algebralise muutkonna mõiste erineb sileda muutkonna mõistest selle poolest, et algebralisel muutkonnal võib olla iseäraseid punkte. Reaalarvulise algebralise muutkonna ümbrus on isomorfne sileda muutkonnaga.

1800. aasta paiku tõestatud algebra põhiteoreem tegi kindlaks algebra ja geomeetria vahelise seose, näidates, et ühe muutuja taandatud polünoom (algebraline objekt) on üheselt määratud oma kompleksarvuliste juurtega, s.o lõpliku punktihulgaga komplekstasandil (geomeetria objekt). Hilberti teoreem nullkohtadest üldistas seda tulemust ning tegi kindlaks fundamentaalse vastavuse polünoomide ringi ideaalide ja algebraliste muutkondade vahel. Kasutades Hilberti teoreemi nullkohtadest ja sellega seotud tulemusi, tegid matemaatikud kindlaks vastavuse algebraliste muutkondadega seotud küsimuste ning ringiteooria küsimuste vahel; selliste vastavuste kasutamine on algebralise geomeetria eripära.

Definitsioonid

Algebralisi muutkondi on mitut tüüpi: afiinsed muutkonnad, projektiivsed muutkonnad, kvaasiprojektiivsed muutkonnad. Algebraline muutkond kõige üldisemas mõttes saadakse mitme kvaasiprojektiivse muutkonna kokkukleepimisel.

Afiinsed muutkonnad

Olgu k algebraliselt kinnine korpus (klassikalises algebralises geomeetrias kompleksarvude korpus); olgu $\mathbb {A} ^{n}$ n-mõõtmeline afiinne ruum üle k. Klassikalises analüüsis on teoreem, mis ütleb, et hulga $\mathbb {R} ^{n}$ kinnised alamhulgad kõigi võimalike lõpmatult diferentseeruvate funktsioonide nullkohtade hulgad. Zariski topoloogia kannab mingis mõttes selle omaduse üle polünoomfunktsioonide juhtumile: Zariski topoloogia defineerimisel seatakse igale n muutuja polünoomide hulgale vastavuse nende afiinse ruumi punktide hulk, kus kõik need polünoomid võrduvad nulliga:

$Z(S)=\{x\in \mathbb {A} ^{n}\mid f(x)=0\;\forall f\in S\}.$

Kinnised hulgad Zariski topoloogias ruumis $\mathbb {A} ^{n}$ on kõik hulgad kujuga Z(S), neid kinnisi hulki nimetatakse ka algebralisteks hulkadeks. Afiinne algebraline muutkond on algebraline hulk, mida ei saa esitada kahe väiksema algebralise hulga ühendina.

Alamhulgale $V\in \mathbb {A} ^{n}$ saab seada vastavusse ideaali, mis koosneb polünoomidest, mis selles alamhulgas võrduvad nulliga:

$I(V)=\{f\in k[x_{1},\ldots ,x_{n}]\mid f(x)=0\;\forall x\in V\}.$

Juhtumil, kui V on algebraline muutkond, nimetatakse polünoomide ringi faktorringi ideaali I(V) järgi selle muutkonna koordinaatringiks ning seda tähistatakse k[V]. Algebraline hulk V on muutkond siis ja ainult siis, kui I(V) on lihtne ideaal (ehk koordinaatring on integriteetkond).

Vaata ka

• Algebraline pind
• Algebraline joon