Pythagorase kolmik

Arvuteoorias nimetatakse Pythagorase kolmikuks ehk Pythagorase arvukolmikuks kolme erineva positiivse täisarvu komplekti, mille puhul kahe väiksema arvu ruutude summa võrdub suurima arvu ruuduga. Arve, mis moodustavad Pythagorase kolmiku, nimetatakse Pythagorase arvudeks.

Pythagorase teoreemi järgi võib Pythagorase kolmiku kolme arvu käsitada ka täisnurkse kolmnurga küljepikkustena eukleidilises geomeetrias. Kolmnurk, mille küljepikkused moodustavad Pythagorase kolmiku, on täisnurkne ja sellist kolmnurka nimetatakse Pythagorase kolmnurgaks.

Kui Pythagorase kolmiku arvud $a$ , $b$ ja $c$ on ühisteguriteta, siis seda kolmikut nimetatakse primitiivseks Pythagorase kolmikuks.

Näiteid

$(3,\ 4,\ 5)$ on kõige väiksem ja kõige tuntum Pythagorase kolmik. Ta on primitiivne.
Ka $(5,\ 12,\ 13)$ ja $(8,\ 15,\ 17)$ on väikesed primitiivsed Pythagorase kolmikud.
Mitteprimitiivsed Pythagorase kolmikud on näiteks $(15,\ 20,\ 25)$ ja $(15,\ 36,\ 39)$ .

Pythagorase kolmikute genereerimine

Valemid

a=m^{2}-n^{2}

b=2\;\!mn

c=m^{2}+n^{2}

annavad mis tahes positiivsete täisarvude $m,n,m>n>0$ korral Pythagorase kolmiku $(a,\ b,\ c)$ . See kolmik on primitiivne parajasti siis, kui $m$ ja $n$ on ühisteguriteta arvud ega ole mõlemad paaritud.

Ajalugu

Pythagorase kolmikud leiduvad juba Babüloonia savitahvlitel, mis dateeritakse Hammurapi dünastia (Babüloonia 1. dünastia) aega (1829–1530 eKr). Kiilkirjatahvel Plimpton 322 sisaldab 15 erinevat Pythagorase kolmikut,^[1]sealhulgas $(56,90,106)$ , $(119,120,169)$ ja $(12709,13500,18541)$ , millest saab teha järelduse, et juba üle 3500 aasta tagasi oli teada meetod niisuguste kolmikute arvutamiseks.

Vana-Egiptusest on Pythagorase kolmikute sõnaselge mainimine teada ainult ühelt demootilises kirjas papüüruselt 3. sajandist eKr,^[2] siiski arutati iseäranis kolmikute $(3,\ 4,\ 5)$ ja $(20,\ 21,\ 29)$ kasutamist seoses mõnede püramiidide kaldenurkadega umbes kaks tuhat aastat enne mainitud papüürust.^[3]

Baudhājana Śulbasūtra Vana-Indiast 6. sajandist eKr sisaldab viis Pythagorase kolmikut.^[4]

Vana-Kreekas käsitlesid Pythagorase kolmikuid Eukleides, Proklose kommentaaride järgi Eukleidese "Elementidele" Pythagoras ja Platon ning hiljem Diophantos.

↑ Georges Ifrah. The Universal History of Computing. From Prehistory to the Invention of the Computer, lk 151}}
↑ Corinna Rossi. Mathematics and Architecture in Ancient Egypt, Cambridge UP 2003, lk 217. Ta tsiteerib artiklit: Richard Parker. Demotic Mathematical Papyri, Brown University Press 1972, lk 3–4, 35–40.
↑ Rossi, samas, lk 219. Chephreni püramiidi puhul kaldenurgaga 53° oleks võimalik kolmiku $(3,\ 4,\ 5)$ kasutamine, Punase püramiidi puhul kaldenurgaga 53° kolmiku $(20,\ 21,\ 29)$ kasutamine.
↑ Helmuth Gericke. Mathematik in Antike, Orient und Abendland, Matrix-Verlag: Wiesbaden 2005, ISBN=3-937715-71-1, lk 68.

[1] Georges Ifrah. The Universal History of Computing. From Prehistory to the Invention of the Computer, lk 151}}

[2] Corinna Rossi. Mathematics and Architecture in Ancient Egypt, Cambridge UP 2003, lk 217. Ta tsiteerib artiklit: Richard Parker. Demotic Mathematical Papyri, Brown University Press 1972, lk 3–4, 35–40.

[3] Rossi, samas, lk 219. Chephreni püramiidi puhul kaldenurgaga 53° oleks võimalik kolmiku $(3,\ 4,\ 5)$ kasutamine, Punase püramiidi puhul kaldenurgaga 53° kolmiku $(20,\ 21,\ 29)$ kasutamine.

[4] Helmuth Gericke. Mathematik in Antike, Orient und Abendland, Matrix-Verlag: Wiesbaden 2005, ISBN=3-937715-71-1, lk 68.

[1]

[2]

[3]

[4]