Kvaternioonid

Kvaternioonide korrutustabel

↓ × →	1	i	j	k
1	1	i	j	k
i	i	−1	k	−j
j	j	−k	−1	i
k	k	j	−i	−1
Vasakpoolne veerg näitab vasakpoolset tegurit, ülemine rida näitab parempoolset tegurit. Peale selle, $a\mathbf {b} =\mathbf {b} a$ ja $-\mathbf {b} =(-1)\mathbf {b}$, kus $a\in \mathbb {R}$, $\mathbf {b} =\mathbf {i} ,\mathbf {j} ,\mathbf {k}$.

Kvaternioonide rühma Q₈ Cayley graaf, mis näitab kuut arvudega i (punane, j (roheline) ja k (sinine) korrutamise tsüklit. (Kui pildile kaks korda klõpsata, avaneb Wikimedia Commonsi pilt, millel saab kursoriga hõljutades või klikkides tsükleid eraldi näha)

Kvaternioonid on üks arvuvald, mis laiendab reaalarvude valda ja kompleksarvude valda. Kvaternioonid kuuluvad hüperkompleksarvude hulka.

Seda kirjeldas ning uuris süstemaatiliselt alates 1843. aastast William Rowan Hamilton; sellepärast nimetatakse neid ka Hamiltoni kvaternioonideks või Hamiltoni arvudeks. Hamilton rakendas neid ka mehaanikas. Olinde Rodrigues avastas need 1840 Hamiltonist sõltumatult. Sellegipoolest tähistatakse kvaternioonide hulka Hamiltoni järgi sageli H või $\mathbb {H}$.

Kvaternioonid moodustavad kaldkorpuse, mille puhul korrutamine sõltub tegurite järjekorrast, st ei ole kommutatiivne. See tähendab, on olemas kvaternioonid $x$ ja $y$, mille korral

$xy\;\;\neq \;\;yx$.

Mõned reaalarvude puhul kehtivad arvutamisreeglid seetõttu ei kehti, kuid assotsiatiivsus ja distributiivsus kehtivad ning kvaternioonid on pööratavad. Kvaternioonid olid esimene mittekommutatiivse kaldkorpuse näide.

Kvaternioonid võimaldavad paljudel juhtudel arvutuslikult elegantselt kirjeldada kolmemõõtmelist eukleidilist ruumi ja teisi ruume, eriti pöörete kontekstis. Nad pakuvad huvi ka omaette ja aitavad näiteks tõestada Lagrange'i nelja ruudu teoreemi.

Konstrueerimine

Kvaternioonid tekivad reaalarvudest sel teel, et lisatakse (adjungeeritakse) kolm uut arvu, mille tähised on kompleksarvude imaginaarühiku eeskujul pannakse $\mathrm {i}$, $\mathrm {j}$ und $\mathrm {k}$. Nii saadakse neljamõõtmeline arvuvald (vektorruum), mille arvudel on reaalosa, mis koosneb ühest komponendist, ja imaginaarosa, mis koosneb kolmest komponendist ja mida nimetatakse ka vektorosaks.

Iga kvaterniooni saab üheselt esitada kujul

$x_{0}+x_{1}\mathrm {i} +x_{2}\mathrm {j} +x_{3}\mathrm {k}$,

kus $x_{0}$, $x_{1}$, $x_{2}$, $x_{3}$ on reaalarvud. Nii moodustavad elemendid $1,\mathrm {i} ,\mathrm {j} ,\mathrm {k}$ baasi, kvaternioonide standardbaasi üle $\mathbb {R}$. Liitmine käib komponentidekaupa ja pärandub vektorruumist. Uusi arve $\mathrm {i}$, $\mathrm {j}$, $\mathrm {k}$ korrutamine käib Hamiltoni reeglite

$\mathrm {i} ^{2}=\mathrm {j} ^{2}=\mathrm {k} ^{2}=\mathrm {i} \mathrm {j} \mathrm {k} =-1$

järgi. Skalaariga korrutamine $\mathbb {R} \times \mathbb {H} \to \mathbb {H} \,$, mis samuti pärandub vektorruumist ja mille puhul skalaari peetakse iga elemendiga vahetatavaks (ei eristata vasak- ja parempoolset korrutamist), koos liitmisega, parempoolse distributiivsusega ja Hamiltoni reeglitega võimaldavad korrutamise laiendada baasilt kõikidele kvaternioonidele. Et nõnda kuulub ka iga skalaar $\lambda \in \mathbb {R}$ kvaternioonide hulka kui $\lambda +0\mathrm {i} +0\mathrm {j} +0\mathrm {k}$, siis võib reaalarvude ringi $\mathbb {R}$ käsitada kui kvaternioonide ringi $\mathbb {H}$ alamringi.

Nõnda defineeritud korrutamine on assotsiatiivne, on vasakult ja paremalt distributiivne, nii et kvaternioonid moodustavad ringi. See ring ei ole kommutatiivne, st kvaternioonide $x$ ja $y$ korrutised $xy$ ja $yx$ on üldjuhul erinevad. Multiplikatiivse rühma $\mathbb {H} ^{\times }$ tsenter, s.o selle rühma niisuguste elementide hulk, mis kommuteeruvad kõikide kvaternioonidega, on reaalarvude multiplikatiivne rühm $\mathbb {R} ^{\times }$.

Kvaternioonid moodustavad kaldkorpuse, sest igal kvaternioonil $x\neq 0$ on pöördelement (pöördarv) $x^{-1}$, mille korral

$xx^{-1}=x^{-1}x=1$ .

Kommutatiivsuse puudumise tõttu välditakse murrujoonega tähistust, nagu näiteks ${\tfrac {y}{x}}$.

Peale selle moodustavad kvaternioonid neljamõõtmelise jagamisega algebra üle reaalarvude korpuse $\mathbb {R}$ – ja see on isomorfismi täpsusega ainus niisugune.

Tähistused

Järgnevas tekstis kasutatakse niisuguseid tähistusi:

Kui $x$ on kvaternioon, siis selle reaalarvulisi komponente tähistatakse $x_{0},x_{1},x_{2},x_{3}$ bezeichnet, ja need seostatakse baasiga $1,\mathrm {i} ,\mathrm {j} ,\mathrm {k}$ järgmiselt:

$x=x_{0}+x_{1}\mathrm {i} +x_{2}\mathrm {j} +x_{3}\mathrm {k} .$

Mõnikord on tarvis vektortähistusi. Siis võetakse komponendid $(x_{1},x_{2},x_{3})$ kokku 3-mõõtmeliseks vektoriks ${\vec {x}}$, nii et kvaterniooni $x$ saab samastada 4-mõõtmelise vektoriga $(x_{0},{\vec {x}})=(x_{0},x_{1},x_{2},x_{3})$.

Analoogsed kokkulepped kehtivad teiste tähtede, nagu $y$ jne kohta.

Vanemas kirjanduses tähistatakse kvaternioone mõnikord fraktuurkirja suurtähtedega ning imaginaarühikuid kui ühikvektoreid fraktuurkirja väiketähtedega, näiteks nii:

${\mathfrak {X}}=x_{0}+{\mathfrak {e}}_{1}x_{1}+{\mathfrak {e}}_{2}x_{2}+{\mathfrak {e}}_{3}x_{3}=\sum _{j=0}^{3}{\mathfrak {e}}_{j}x_{j}$,

kus ${\mathfrak {e}}_{0}=1$.

Kompleksarve tähistatakse tavaliselt tähega $z$ ja nende reaalarvulisi komponente tähtedega $\xi$, $\eta$.

Põhitehted

Kvaternioonide konstrueerimine on analoogne kompleksarvude konstrueerimisele, ainult et adjungeeritakse ühe arvu asemel kolm arvu, mida tähistatakse $\mathrm {i}$, $\mathrm {j}$ ja $\mathrm {k}$.

Lineaarkombinatsioonid

$x_{0}\mathrm {1} +x_{1}\mathrm {i} +x_{2}\mathrm {j} +x_{3}\mathrm {k}$

üle baasi $\{\mathrm {1} ,\mathrm {i} ,\mathrm {j} ,\mathrm {k} \}$ moodustavad reaalarvuliste komponentidega $x_{i}$ 4-mõõtmelise kvaternioonide vektorruumi $\mathbb {H}$. Vektorruumina on $\mathbb {H}$ isomorfne vektorruumiga $\mathbb {R} ^{4}$. Baaselement $\mathrm {1}$, mille abil saadakse reaalarvude hulga injektsioon kvaternioonide hulka (ja mis ühtlasi on ühikelement (neutraalne element korrutamise suhtes), jäetakse lineaarkombinatsioonis enamasti märkimata. Liitmine ja lahutamine toimuvad komponentide kaupa.

Vektorruumist võetakse üle skalaariga korrutamine, s.o vasak- ja parempoolne reaalarvuga korrutamine, mis on komponentide suhtes distributiivne. See skalaariga korrutamine on kogu hulgal $\mathbb {H}$ defineeritud Hamiltoni korrutamise ahend. Baaselementide omavaheline Hamiltoni korrutamine või pisut laiemalt Hamiltoni korrutamine hulgas

$\mathrm {Q} _{8}:=\{\mathrm {1} ,\mathrm {i} ,\mathrm {j} ,\mathrm {k} ,-\mathrm {1} ,-\mathrm {i} ,-\mathrm {j} ,-\mathrm {k} \}$

toimub Hamiltoni reeglite järgi:

$\mathrm {i} ^{2}=\mathrm {j} ^{2}=\mathrm {k} ^{2}=-1$	$(1)$
$\mathrm {i} \mathrm {j} =+\mathrm {k} ,\quad \mathrm {j} \mathrm {k} =+\mathrm {i} ,\quad \mathrm {k} \mathrm {i} =+\mathrm {j}$	$(2)$
$\mathrm {j} \mathrm {i} =-\mathrm {k} ,\quad \mathrm {k} \mathrm {j} =-\mathrm {i} ,\quad \mathrm {i} \mathrm {k} =-\mathrm {j}$	$({\bar {2}})$.

Need reeglid koos $\pm 1$ vahetatavusega iga elemendiga annavad täieliku tabeli tehte jaoks, mis osutub assotsiatiivseks ja teeb hulgast $\mathrm {Q} _{8}$ rühma – kvaternioonide rühma.

Kui eeldada reeglit $(1)$ (ja rühma aksioome), siis on reeglite $(2)$ ja $({\bar {2}})$ kombinatsioon, milles väljendub kolme mittereaalarvulise kvaterniooniühiku tsüklilisus ja antitsüklilisus, asendatav üksikreegliga

$\mathrm {i} \mathrm {j} \mathrm {k} =-1$

$(3)$.

Selle üksikreegli $(3)$ saaks asendada ka ükskõik millisega viiest alternatiivsest üksikreeglist $\mathrm {j} \mathrm {k} \mathrm {i} =-1$, $\mathrm {k} \mathrm {i} \mathrm {j} =-1$, $\mathrm {k} \mathrm {j} \mathrm {i} =1$, $\mathrm {j} \mathrm {i} \mathrm {k} =1$ ja $\mathrm {i} \mathrm {k} \mathrm {j} =1$.

Nende asendusreeglite, assotsiatiivsuse ning (vasak- ja parempoolse) distributiivsuse abil saab korrutamist jätkata kogu kvaternioonide vallale $\mathbb {H}$. Arve $\mathrm {i} ,\mathrm {j} ,\mathrm {k}$ võib käsitleda antikommuteerivate muutujatena. Kahe niisuguse arvu korrutamisel saab kasutada Hamiltoni reegleid.

Kahe kvaterniooni

$x=x_{0}+x_{1}\mathrm {i} +x_{2}\mathrm {j} +x_{3}\mathrm {k}$   und   $y=y_{0}+y_{1}\mathrm {i} +y_{2}\mathrm {j} +y_{3}\mathrm {k}$

kahe tehte valemid on

${\begin{alignedat}{2}x+y&=(x_{0}+y_{0})+(x_{1}+y_{1})\mathrm {i} +(x_{2}+y_{2})\mathrm {j} +(x_{3}+y_{3})\mathrm {k} &\quad &{\text{(liitmine)}}\end{alignedat}}$

ja

${\begin{alignedat}{2}x\;y&=(x_{0}y_{0}-x_{1}y_{1}-x_{2}y_{2}-x_{3}y_{3})&\quad &{\text{(korrutamine)}}\\&\quad +(x_{0}y_{1}+x_{1}y_{0}{\color {green}\;+\;x_{2}y_{3}}{\color {red}\;-\;x_{3}y_{2}})\mathrm {i} &&\\&\quad +(x_{0}y_{2}{\color {red}\;-\;x_{1}y_{3}}+x_{2}y_{0}{\color {green}\;+\;x_{3}y_{1}})\mathrm {j} &&\\&\quad +(x_{0}y_{3}{\color {Green}\;+\;x_{1}y_{2}}{\color {red}\;-\;x_{2}y_{1}}+x_{3}y_{0})\mathrm {k} &&\end{alignedat}}.$

Tuletus:

${\begin{aligned}x\;y&=(x_{0}+x_{1}\mathrm {i} +x_{2}\mathrm {j} +x_{3}\mathrm {k} )\;(y_{0}+y_{1}\mathrm {i} +y_{2}\mathrm {j} +y_{3}\mathrm {k} )\\&=x_{0}y_{0}+x_{1}y_{1}\mathrm {i} \mathrm {i} +x_{2}y_{2}\mathrm {j} \mathrm {j} +x_{3}y_{3}\mathrm {k} \mathrm {k} \\&\quad +x_{0}y_{1}\mathrm {i} +x_{1}y_{0}\mathrm {i} +x_{2}y_{3}{\color {green}\mathrm {j} \mathrm {k} }+x_{3}y_{2}{\color {red}\mathrm {k} \mathrm {j} }\\&\quad +x_{0}y_{2}\mathrm {j} +x_{1}y_{3}{\color {red}\mathrm {i} \mathrm {k} }+x_{2}y_{0}\mathrm {j} +x_{3}y_{1}{\color {green}\mathrm {k} \mathrm {i} }\\&\quad +x_{0}y_{3}\mathrm {k} +x_{1}y_{2}{\color {green}\mathrm {i} \mathrm {j} }+x_{2}y_{1}{\color {red}\mathrm {j} \mathrm {i} }+x_{3}y_{0}\mathrm {k} \\&=x_{0}y_{0}-x_{1}y_{1}-x_{2}y_{2}-x_{3}y_{3}\\&\quad +(x_{0}y_{1}+x_{1}y_{0}{\color {green}\;+\;x_{2}y_{3}}{\color {red}\;-\;x_{3}y_{2}})\mathrm {i} \\&\quad +(x_{0}y_{2}{\color {red}\;-\;x_{1}y_{3}}+x_{2}y_{0}{\color {green}\;+\;x_{3}y_{1}})\mathrm {j} \\&\quad +(x_{0}y_{3}{\color {green}\;+\;x_{1}y_{2}}{\color {red}\;-\;x_{2}y_{1}}+x_{3}y_{0})\mathrm {k} .\end{aligned}}$

Sellega on ringile vajalikud kaks tehet defineeritud. Kerge on veenduda, et kõik ringi aksioomid on rahuldatud.

Vastandelement on (nagu igas vektorruumis) korrutis skalaariga −1. Lahutamine on selle vastandelemendi liitmine.

Kaldkorpusele vajalik jagamine tuleb kommutatiivsuse puudumise tõttu asendada pöördelemendiga korrutamisega.

Vasturing

Kui $\mathbb {H}$ on mittekommutatiivne ring, siis saab korrutamise

$x\circ y\;:=y\cdot x$

abil moodustada teise, vasturingiks nimetatava ringi $\mathbb {H} ^{\operatorname {op} }:=(\mathbb {R} ^{4},+,\circ )$. Siin järelduvad kõik ringi seadused, st assotsiatiivsus ja mõlemad distributiivsused, algsetest seadustest. Selles ringis kehtivad kõik põhitehete all toodud arvutusreeglid selle erandiga, et ainult avaldiste puhul, milles kordajad on ainult kujul $x_{m}y_{n}$, kus $m\neq n$ ja $m\neq 0\neq n$, on märk vastupidine. Peale selle kehtib lühivorm

$\mathrm {i} \circ \mathrm {j} \circ \mathrm {k} =+1$.

Carl Friedrich Gauß defineeriski kvaternioonide korrutamise aastal 1819 nii.

Peale selle on kruvireegli $(\mathrm {i} ,\mathrm {j} ,\mathrm {k} )$ orientatsioon ringis $\mathbb {H} ^{\operatorname {op} }$ peegelpildis. Samasusteisendus hulgal $\mathbb {R} ^{4}$ on antiisomorfism ja konjugatsioon on isomorfism

$\mathbb {H} :=(\mathbb {R} ^{4},+,\cdot )\quad \to \quad \mathbb {H} ^{\operatorname {op} }:=(\mathbb {R} ^{4},+,\circ )$.

Mittekommutatiivsus on ekvivalentne ringide $\mathbb {H}$ ja $\mathbb {H} ^{\operatorname {op} }$ erinevusega. Et mõlemad ringid rahuldavad ringi aksioome, peavad need olema Otto Hölderi mõttes ebatäielikud. Ratsionaalarvude, reaalarvude ja kompleksarvude aksiomaatika on selles mõttes täielikud.

Põhimõisted

Skalaarosa ja vektorosa

Kvaterniooni

$x=x_{0}+x_{1}\mathrm {i} +x_{2}\mathrm {j} +x_{3}\mathrm {k}$

komponendi $x_{0}$ erilise staatuse tõttu nimetatakse seda – nagu kompleksarvude puhulgi – reaalosaks või skalaarosaks

$\operatorname {Re} \,x:=x_{0}$ ,

komponente $x_{1},x_{2},x_{3}$ koos aga moodustavad imaginaarosaks ehk vektorosa

$\operatorname {Im} \,x:=x_{1}\mathrm {i} +x_{2}\mathrm {j} +x_{3}\mathrm {k}$.

Sageli samastatakse vektorosa ka vektoriga ${\vec {x}}:=(x_{1},x_{2},x_{3})\in \mathbb {R} ^{3}$.

Konjugeerimine

Kvaterniooni

$x=x_{0}+x_{1}\mathrm {i} +x_{2}\mathrm {j} +x_{3}\mathrm {k}$

kaaskvaternioon ehk konjugeeritud kvaternioon on defineeritud kui

${\bar {x}}:=x_{0}-x_{1}\mathrm {i} -x_{2}\mathrm {j} -x_{3}\mathrm {k}$.

Saame seosed

$x=\operatorname {Re} \,x+\operatorname {Im} \,x$

ja

${\bar {x}}=\operatorname {Re} \,x-\operatorname {Im} \,x$ ,

millest tuleneb, et

$\operatorname {Re} \,x={\frac {1}{2}}(x+{\bar {x}})$

ja

$\operatorname {Im} \,x={\frac {1}{2}}(x-{\bar {x}}).$

Kui kvaternioon on oma kaaskvaterniooniga võrdne, siis ta on reaalarv, st tema vektorosa on nill. Kui kvaternioon on oma kaaskvaterniooni vastandarv, siis ta on puhas kvaternioon, st tema skalaarosa on null.

Konjugeerimise tähtsad omadused on veel:

${\overline {({\bar {x}})}}=x$	Konjugeerimine on involutsioon.
${\overline {x+y}}={\bar {x}}+{\bar {y}}$ und ${\overline {\lambda x}}=\lambda {\bar {x}}$ reaalarvude $\lambda$ korral	Konjugeerimine on $\mathbb {R}$-lineaarkujutus.
${\overline {xy}}={\bar {y}}{\bar {x}}$	Konjugeerimine on involutiivne antiautomorfism.
${\overline {x}}=-{\tfrac {1}{2}}(x+\mathrm {i} \,x\,\mathrm {i} +\mathrm {j} \,x\,\mathrm {j} +\mathrm {k} x\mathrm {k} )$

Skalaarkorrutis

Kahe (ruumi $\mathbb {R} ^{4}$ vektoritena käsitatava) kvaterniooni skalaarkorrutis $\langle {\cdot },{\cdot }\rangle \colon \mathbb {H} \times \mathbb {H} \to \mathbb {R}$ on defineeritud kui

$\langle x,y\rangle :=x_{0}y_{0}+x_{1}y_{1}+x_{2}y_{2}+x_{3}y_{3}$ .

Kehtib

$\langle x,y\rangle =\operatorname {Re} ({\bar {x}}y)=\operatorname {Re} (x{\bar {y}})={\frac {1}{2}}(x{\bar {y}}+y{\bar {x}})$ .

Skalaarkorrutis on positiivselt määratud sümmeetriline bilineaarvorm, mille kaudu saab defineerida normi ja pikkuse ning määrata nurgad ja ortogonaalsuse.

Skalaarkorrutise abil saab ka välja tuua kvaterniooni komponendid:

$x_{0}=\langle \mathrm {1} ,x\rangle ,\quad x_{1}=\langle \mathrm {i} ,x\rangle ,\quad x_{2}=\langle \mathrm {j} ,x\rangle ,\quad x_{3}=\langle \mathrm {k} ,x\rangle$ .

Vektorkorrutis

Kahe kvaterniooni $x,y$ vektorkorrutis on nende vektorosade vektorkorrutis. See osutub pooleks nende kommutaatorist. Kui $x=:(x_{0},{\vec {x}})$ ja $y=:(y_{0},{\vec {y}})$, siis

${\begin{aligned}x\times y&:={\vec {x}}\times {\vec {y}}\\&\;={\tfrac {1}{2}}(xy-yx)\\&\;=(x_{2}y_{3}-x_{3}y_{2})\mathrm {i} +(x_{3}y_{1}-x_{1}y_{3})\mathrm {j} +(x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1})\mathrm {k} \;.\end{aligned}}$

Kaks kvaterniooni on sellepärast parajasti siis omavahel vahetatavad ehk kommuteeruvad, kui nende vektorosad kui reaalarvulised vektorid on lineaarselt sõltuvad.

Kvaternioonide korrutis kui skalaar- ja vektorkorrutis

Kui samastada kvaternioonid

$x=x_{0}+x_{1}\mathrm {i} +x_{2}\mathrm {j} +x_{3}\mathrm {k}$

ja

$y=y_{0}+y_{1}\mathrm {i} +y_{2}\mathrm {j} +y_{3}\mathrm {k}$

skalaari $\in \mathbb {R}$ ja vektori $\in \mathbb {R} ^{3}$ paaridega

$x=(x_{0},{\vec {x}})$  , kus   ${\vec {x}}:=(x_{1},x_{2},x_{3})$

ja

$y=(y_{0},{\vec {y}})$  , kus   ${\vec {y}}:=(y_{1},y_{2},y_{3})$ ,

siis saab korrutise esitada (kolmemõõtmelise) (punktiga tähistatud) skalaarkorrutise ja vektorkorrutise abil:

$xy=(x_{0},{\vec {x}})(y_{0},{\vec {y}})={\Big (}x_{0}y_{0}-{\vec {x}}\cdot {\vec {y}},\quad x_{0}{\vec {y}}+{\vec {x}}y_{0}+{\vec {x}}\times {\vec {y}}{\Big )}$ .

Kirjandus

• Carl Friedrich Gauß. Mutation des Raumes. – Carl Friedrich Gauß. Werke. Achter Band, Königliche Gesellschaft der Wissenschaften, Göttingen 1900, lk 357–361. Dateeritud 1819. aastasse.
• John Rowan Hamilton. On Quaternions; or on a new System of Imaginaries in Algebra, kiri, John T. Gravesile, 17. oktoober 1843.
• Otto Hölder. Bemerkung zur Quaternionentheorie. – Nachrichten von der Königl. Gesellschaft der Wissenschaften und der Georg-Augusts-Universität zu Göttingen: aus dem Jahre 1889, Dieterichsche Verlags-Buchhandlung: Göttingen 1889, lk 34–38. de:s:Bemerkung zur Quaternionentheorie.
• Max Koecher, Reinhold Remmert. Hamiltonsche Quaternionen. – H.-D. Ebbinghaus jt. Zahlen, Springer-Verlag, Berlin 1983, ISBN 3-540-12666-X.
• Jack B. Kuipers. Quaternions and Rotation Sequences, Princeton University Press 2002, ISBN 0-691-10298-8.
• Andrew J. Hanson. Visualizing Quaternions, Morgan Kaufmann Publishers 2006, ISBN 0-12-088400-3.
• John H. Conway, Derek A. Smith. On Quaternions and Octonions, A K Peters 2003, ISBN 1-56881-134-9.