Goldstone'i bosonid

Goldstone'i bosonid või Nambu-Goldstone'i bosonid (NGB-d) on peamiselt osakeste- ja kondensainefüüsikas käsitletavad bosonid, mis on vajalikud mudelites, milles toimub pidevate sümmeetriate spontaanne rikkumine.

Yoichiru Nambu avastas need Bardeen-Cooper-Schriefferi ülijuhtivuse mehhanismi uurides ^[1], misjärel Jeffrey Goldstone nende olemust põhjalikumalt selgitas^[2]. Samuti üldistas Goldstone bosonid kvantväljateooria kontekstis^[3].

Need spinnitud bosonid vastavad spontaanselt rikutud sisemistele sümmeetriageneraatoritele, mille kvantarvud neid bosoneid iseloomustavad. Need teisenevad antud generaatorite mõjul mittelineaarselt (nihkuvad) ning seega saavad need generaatorid NGB-sid asümmeetrilisest vaakumist ergastada. Seega võib nendest rääkida kui rikutud sümmeetria suunalistest väljaergastustest ruumrühmas. Lisaks on need massitud, kui spontaanselt rikutud sümmeetria ei ole rikutud eksplitsiitselt. Kui sümmeetria ei ole täpne ehk see on rikutud eksplitsiitselt ja spontaanselt korraga, siis Nambu-Goldstone'i bosonid ei ole massitud, kuigi need võivad olla võrdlemisi väikese massiga. Sel juhul kutsutakse neid pseudo-Goldstone'i bosoniteks või pseudo-Nambu-Goldstone'i bosoniteks (e PNGB-d).

Goldstone'i teoreem

Goldstone'i teoreem kirjeldab tavalist pidevat sümmeetriat, mis rikutakse spontaanselt. See tähendab seda, et selle voolud säilivad, kuid selle põhiolek ehk madalaima potentsiaaliga olek ei ole invariantne vastavate laengute mõjule. Selle tõttu ilmnevad uued massitud (või väikese massiga, kui sümmeetria ei ole täpne) skalaarsed osakesed kõikide võimalike ergastuste spektris. Igale rikutud sümmeetria generaatorile ehk sellisele, mis ei säilita välja põhiolekut, vastab üks skalaarne osake – Nambu-Goldstone'i boson. Nambu-Goldstone'i seisund on pikalaineline kõikumine vastavast korrastusparameetrist.^[4]

Hääbuva impulsiga ("pehmed") Goldstone'i bosonid, mis on seotud väljateoreetiliste amplituudidega, muudavad need amplituudid hääbuvaks ("Adleri nullid"). See tuleneb nende bosonite erilistest omadustest sidestusel vastava rikutud sümmeetriaga teooria vaakumiga.

Kalibratsioonisümmeetriaga teooriates kalibratsioonibosonid absorbeerivad Goldstone'i bosonid. Kalibratsioonibosonid omandavad selle interaktsiooni tulemusena massi ning ka nende pikisuunaline polarisatsioon tuleneb interaktsioonist Goldstone'i bosoniga.^[5]

Näited

Looduses

Vedelikes esinev foonon on pikisuunaline ning see on spontaanselt rikutud Galilei sümmeetria Goldstone'i boson. Tahkistes on olukord keerulisem, sest nendes on Goldstone'i bosonid nii piki- kui ka ristfoononid ning need on spontaanselt rikutud Galilei, translatsioonilise ja rotatsioonilise sümmeetria Goldstone'i bosonid, millel ei ole lihtsaid üks ühele vastavusi rikutud sümmeetriate ning Goldstone'i seisundite vahel.^[6]
Magnetites olev esialgne pöördsümmeetria (eksisteerib vaid välise magnetvälja puudumisel) rikutakse spontaanselt nii, et magneetuvus näitab kindlasse suunda. Goldstone'i bosonid on sel juhul magnonid, see tähendab spinnlained milles kohalik magneetuvussuund ostsilleerub.^[7]^[8]
Piionid on pseudo-Goldstone'i bosonid, mis tekivad kvantkromodünaamika kiraalsete sümmeetriate spontaansetel rikkumistel, mida põhjustab kvarkide kondensatsioon tugeva vastastikmõju tõttu. Need sümmeetriad rikutakse ekspliitselt kvarkide masside tõttu, nii et piionid ei ole massitud, kuid nende mass on oluliselt väiksem, kui tüüpilise hadroni mass.^[8]
W- ja Z-bosonite pikisuunalised polarisatsioonikomponendid vastavad spontaanselt rikutud elektronõrga sümmeetria osa SU(2)⊗U(1) Goldstone'i bosonitele, mis ei ole aga kahjuks vaadeldavad. Kuna see sümmeetria on kalibratsiooniinvariantne, siis kolm tekkima pidavat Goldstone'i bosonit, mis vastavad kolmele rikutud generaatorile, absorbeeritakse kolme kalibratsioonibosoni poolt ära. See annab nendele kolmele kalibratsioonibosonile massi ning ka nendega seonduva kolmanda polarisatsiooni vabadusastme. Seda kirjeldab standardmudel Higgsi mehhanismi abil. Analoogne fenomen toimub ülijuhtivuse korral, mis oli ka Nambu originaalne inspiratsiooniallikas. Nimelt omandab footon dünaamilise massi (mis väljendub magnetvoo välistamises ülijuhist), vrd Ginzburg-Landau teooria^[9].^[5]

Teooria

Olgu meil kompleksne skalaarväli $\varphi$ , piiranguga $\varphi {\mbox{*}}\varphi =v^{2}$ , s.t. konstant. Üks viis sellist piirangut kehtestada on lisades potentsiaalse vastastikmõju liikme selle lagranžiaani tihedusse,

$\lambda \left(\varphi {\mbox{*}}\varphi -v^{2}\right)^{2}$

ning võttes piirväärtuse protsessis $\lambda \rightarrow \infty$ (ehk "Abeli mittelineaarne σ-mudel". See vastab Goldstone'i sombreeropotentsiaalile, kus tipp ja küljed jooksevad lõpmatusse, säilitades miinimumi asukoha põhjas).

Piirang ning mõju (allpool) on invariantsed U(1) faasiteisendusel, δφ=iεφ. Välja saab redefineerida nii, et saame piiranguteta reaalse skalaarvälja (s.t osakese spinniga 0) θ ehk

$\phi =ve^{i\theta }$ ,

kus θ on Nambu-Goldstone'i boson (kuid tegelikkuses on selleks vθ) ning U(1) sümmeetriateisendus tekitab θ-le nihke, see tähendab

$\delta \theta =\epsilon$

kuid ei säilita põhiolekut $|0\rangle$ (see tähendab, ülalolev infinitesimaalne teisendus ei annihileeri seda, mis on invariantsuse iseloomulik tunnus), mida näitab voolu laeng allpool.

Seega, see vaakum on kõdunud ning mitteinvariantne spontaanselt rikutud sümmeetria mõjul.

Sellele vastav lagranžiaani tihedus on antud kujul

${\mathcal {L}}=-{\frac {1}{2}}(\partial ^{\mu }\phi ^{*})\partial _{\mu }\phi +m^{2}\phi ^{*}\phi =-{\frac {1}{2}}(-ive^{-i\theta }\partial ^{\mu }\theta )(ive^{i\theta }\partial _{\mu }\theta )+m^{2}v^{2}$ ,

ning seega

$=-{\frac {v^{2}}{2}}(\partial ^{\mu }\theta )(\partial _{\mu }\theta )+m^{2}v^{2}$

Tuleb tähele panna, et konstantne liige $m^{2}v^{2}$ lagranžiaani tiheduses ei oma füüsikalist tähendust ning teine liige selles on ainult kineetiline liige massitule skalaarile.

Sümmeetria-indutseeritud säiliv U(1) vool on

$J_{\mu }=-v^{2}\partial _{\mu }\theta$

Laeng Q nihutab voolu toime tagajärjena $\theta$ ning põhioleku uude, kõdunud põhiolekusse. Seega vaakum, mille korral $\langle \theta \rangle =0$ nihkub teiseks vaakumiks, mille puhul $\langle \theta \rangle =-\varepsilon$

Vool seob esialgse vaakumi Nambu-Goldstone'i olekuga $\langle 0|J_{0}(0)|\theta \rangle \neq 0$

Üldiselt mitme skalaarväljaga $\varphi _{j}$ teoorias on Nambu-Goldstone'i seisund $\varphi _{g}$ massitu ning parametriseerib võimalike (kõdunud) vaakumite olekuid. Selle iseloomulik tunnus rikutud sümmeetria teisendustel on mittehääbuva vaakumi ootus $\langle \delta \varphi _{g}\rangle$ , korrastusparameeter hääbuva $\langle \varphi _{g}\rangle =0$ jaoks mingis põhiolekus $|0\rangle$ , mis on valitud potentsiaali miinimumis $\langle \partial V/\partial \varphi _{i}\rangle =0$

See mittehääbuva vaakumi eeldus teisenduse juurdekasvule $\langle \delta \varphi _{g}\rangle$ täpsustab asjakohase (Goldstone'i) masside maatriksi null-omavektori

${\Bigg \langle }{\frac {\partial ^{2}V}{\partial \phi _{i}\partial \phi _{j}}}{\Bigg \rangle }\langle \delta \phi _{j}\rangle =0$

ning seega ka vastava nullmassiga omaväärtuse.^[3]

Infraosakesed

Teoreemis on vaieldavalt ka puudujääk. Kui teoreemi hoolikalt uurida, siis väidab see ainult, et leiduvad mittevaakumilised olekud, millel on mistahes väikesed energiad. Selle näiteks on kiraalne N=1 super-QCD mudel nullist erineva skvargi eeldatava vaakumi ooteväärtusega, mis on püsiv infrapunas. Kiraalne sümmeetria on globaalne sümmeetria, mis (osaliselt) spontaanselt rikutakse. Mõned sellise spontaanse sümmeetria rikkumisega seotud "Goldstone'i bosonid" on laetud rikkumata kalibratsioonigrupis ning seega on neil komposiitbosonitel pidev massispekter ükskõik milliste väikeste massidega, kuid siiski ei eksisteeri Goldstone'i bosonit, mille mass oleks täpselt null. Teiste sõnadega – Goldstone'i bosonid on infraosakesed.^[5]

Mitterelativistlikud teooriad

Üks versioon Goldstone'i teoreemist kehtib ka mitterelativistlike teooriate kohta (ning ka relativistlike teooriate kohta, milles esineb spontaanselt rikutud aegruumi sümmeetriaid, näiteks Lorentzi sümmeetria või konformne sümmeetria, pöördliikumise või translatsioonilise liikumise invariantsus).^[10]

Sisuliselt väidab see teoreem, et igale spontaanselt rikutud sümmeetriale vastab mingisugune kvaasiosake, millel puudub energia keelutsoon – mitterelativistlik vaste massi keelutsoonile (tuleb tähele panna, et siinkohal on energia $H-\mu N-{\vec {\alpha }}\cdot {\vec {P}}$ ning mitte H).^[10] Kuid nüüd võivad kaks erinevat spontaanselt rikutud generaatorit tekitada sama Nambu-Goldstone'i bosoni. Näiteks ülivoolavas vedelikus rikutakse korraga nii U(1) osakese arvu sümmeetria ning Galilei sümmeetria, kuid mõlema Goldstone'i bosoniks on foonon.

Sisuliselt on foonon spontaanselt rikutud Galilei/Lorentzi sümmeetria Nambu-Goldstone'i boson. Kuid vastukaaluks sisemise sümmeetria rikkumise juhtumile, kui aegruumi sümmeetriad rikutakse, ei pea korrastusparameeter olema skalaarväli, vaid võib olla ka tensorväli ning vastavaid iseseisvaid massituid seisundeid võib olla vähem kui on spontaanselt rikutud generaatoreid. Selle põhjuseks on asjaolu, et Goldstone'i seisundid võivad olla teineteisest lineaarselt sõltuvad, näiteks võib mõne generaatori Goldstone'i seisund olla väljendatav teiste rikutud generaatorite Goldstone'i seisundite gradiendina.^[11]

Nambu-Goldstone'i fermionid

Spontaanselt rikutud globaalsed fermionilised sümmeetriad, mis esinevad mõningates supersümmeetrilistes mudelites, viivad Nambu-Goldstone'i fermionide või goldstino´deni. Nendel on spinn väärtusega ½, mitte 0, ning need kannavad endas kõikide vastavate spontaanselt rikutud supersümmeetriate generaatorite kvantarve.

Spontaanne supersümmeetria rikkumine lõhub (ehk redutseerib) supermultiplettide struktuurid rikutud supersümmeetria karakteristlikeks mittelineaarseteks realisatsioonideks, nii et goldstinod on teooria kõikide mistahes spinniga osakeste ainsad superpartnerid. See tähendab, et kaks mitte-goldstino osakest on supersümmeetriliste teisendustega seotud vaid goldstino´dega, aga mitte teineteisega, isegi kui nad nii enne supersümmeetria rikkumist seotud olid. Selle tulemusena on selliste osakeste massid ning spinnide kordsed nüüd suvalised.^[12]^[13]^[14]

Viited

↑ Nambu, Y (1960). "Quasiparticles and Gauge Invariance in the Theory of Superconductivity". Physical Review 117: 648–663. Bibcode:1960PhRv..117..648N. doi:10.1103/PhysRev.117.648.
↑ Goldstone, J (1961). "Field Theories with Superconductor Solutions". Nuovo Cimento 19: 154–164. doi:10.1007/BF02812722.
↑ ^3,0 ^3,1 Goldstone, J; Salam, Abdus; Weinberg, Steven (1962). "Broken Symmetries". Physical Review 127: 965–970. Bibcode:1962PhRv..127..965G. doi:10.1103/PhysRev.127.965.
↑ Guralnik G. (2011). "Gauge Invariance and the Goldstone Theorem" Mod.Phys.Lett.A26:1381–1392,2011. http://arxiv.org/abs/1107.4592
↑ ^5,0 ^5,1 ^5,2 Boi, L. (2011) "The Quantum Vacuum" lk 193
↑ Leutwyler, H. (1997). "Phonons as Goldstone Bosons". Helv.Phys.Acta 70 (1997) 275–286. http://arxiv.org/abs/hep-ph/9609466
↑ Hoffmann, C. P. (2002). "Ferromagnets and antiferromagnets in the effective Lagrangian perspective". http://arxiv.org/abs/cond-mat/0202153; doi:10.1063/1.1489767
↑ ^8,0 ^8,1 Burgess, C.P. (2000). "Goldstone and Pseudo-Goldstone Bosons in Nuclear, Particle and Condensed-Matter Physics". Phys.Rept.330:193–261,2000. http://arxiv.org/abs/hep-th/9808176 doi:10.1016/S0370-1573(99)00111-8
↑ Ginzburg, V.L.; Landau, L.D. (1950). "Ülijuhtivusteooriast". Журнал Экспериментальной и Теоретической Физики 20.
↑ ^10,0 ^10,1 Lange, R.V. (1966). "Nonrelativistic Theorem Analogous to the Goldstone Theorem". Phys. Rev. 146, 301. http://journals.aps.org/pr/abstract/10.1103/PhysRev.146.301
↑ Requardt, M. (2008). "Spontaneous Symmetry Breaking of Lorentz and (Galilei) Boosts in (Relativistic) Many-Body Systems". http://arxiv.org/abs/0805.3022
↑ Volkov, D.V.; Akulov, V (1973). "Is the neutrino a goldstone particle?". Physics Letters B46: 109–110. Bibcode:1973PhLB...46..109V. doi:10.1016/0370-2693(73)90490-5.
↑ Salam et al., A (1974). "On Goldstone Fermion". Physics Letters B49: 465–467. Bibcode:1974PhLB...49..465S. doi:10.1016/0370-2693(74)90637-6.
↑ Uematsu, T.; Zachos, C. K. (1982). "Structure of phenomenological lagrangians for broken supersymmetry". Nuclear Physics B 201 (2): 250. Bibcode:1982NuPhB.201..250U. doi:10.1016/0550-3213(82)90431-X .

[TcDeU-1] Nambu, Y (1960). "Quasiparticles and Gauge Invariance in the Theory of Superconductivity". Physical Review 117: 648–663. Bibcode:1960PhRv..117..648N. doi:10.1103/PhysRev.117.648.

[gcWWn-2] Goldstone, J (1961). "Field Theories with Superconductor Solutions". Nuovo Cimento 19: 154–164. doi:10.1007/BF02812722.

[:0-3] 3,0 ^3,1 Goldstone, J; Salam, Abdus; Weinberg, Steven (1962). "Broken Symmetries". Physical Review 127: 965–970. Bibcode:1962PhRv..127..965G. doi:10.1103/PhysRev.127.965.

[zhwel-4] Guralnik G. (2011). "Gauge Invariance and the Goldstone Theorem" Mod.Phys.Lett.A26:1381–1392,2011. http://arxiv.org/abs/1107.4592

[:1-5] 5,0 ^5,1 ^5,2 Boi, L. (2011) "The Quantum Vacuum" lk 193

[vHIjR-6] Leutwyler, H. (1997). "Phonons as Goldstone Bosons". Helv.Phys.Acta 70 (1997) 275–286. http://arxiv.org/abs/hep-ph/9609466

[Dd596-7] Hoffmann, C. P. (2002). "Ferromagnets and antiferromagnets in the effective Lagrangian perspective". http://arxiv.org/abs/cond-mat/0202153; doi:10.1063/1.1489767

[:2-8] 8,0 ^8,1 Burgess, C.P. (2000). "Goldstone and Pseudo-Goldstone Bosons in Nuclear, Particle and Condensed-Matter Physics". Phys.Rept.330:193–261,2000. http://arxiv.org/abs/hep-th/9808176 doi:10.1016/S0370-1573(99)00111-8

[8tc4E-9] Ginzburg, V.L.; Landau, L.D. (1950). "Ülijuhtivusteooriast". Журнал Экспериментальной и Теоретической Физики 20.

[:3-10] 10,0 ^10,1 Lange, R.V. (1966). "Nonrelativistic Theorem Analogous to the Goldstone Theorem". Phys. Rev. 146, 301. http://journals.aps.org/pr/abstract/10.1103/PhysRev.146.301

[94Czz-11] Requardt, M. (2008). "Spontaneous Symmetry Breaking of Lorentz and (Galilei) Boosts in (Relativistic) Many-Body Systems". http://arxiv.org/abs/0805.3022

[azmg3-12] Volkov, D.V.; Akulov, V (1973). "Is the neutrino a goldstone particle?". Physics Letters B46: 109–110. Bibcode:1973PhLB...46..109V. doi:10.1016/0370-2693(73)90490-5.

[FeVoz-13] Salam et al., A (1974). "On Goldstone Fermion". Physics Letters B49: 465–467. Bibcode:1974PhLB...49..465S. doi:10.1016/0370-2693(74)90637-6.

[XIHta-14] Uematsu, T.; Zachos, C. K. (1982). "Structure of phenomenological lagrangians for broken supersymmetry". Nuclear Physics B 201 (2): 250. Bibcode:1982NuPhB.201..250U. doi:10.1016/0550-3213(82)90431-X .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]