Fibonacci jada

Fibonacci jada on arvude jada, mille kaks esimest liiget on vastavalt F₁=0 ja F₂=1 ning iga järgnev liige on kahe eelneva liikme summa. Jada esimesed liikmed on

$0,\;1,\;1,\;2,\;3,\;5,\;8,\;13,\;21,\;34,\;55,\;89,\;144,\;233,\;377,\;610,\ \ldots .$

(esimesed 500 elementi on loetletud siin).

Fibonacci jada {F_n} defineeritakse rekurrentse seosega

$F_{n}=F_{n-1}+F_{n-2},\,$

mis lahendatakse algtingimustel

$F_{0}=0,\quad F_{1}=1.\,$

Ajalugu

Teadaolevalt esinevad Fibonacci arvud esmakordselt mātrāmeru nime all Pingala sanskritikeelses käsikirjas Chandaḥśāstra ('Prosoodiakunst'; 450 eKr või 200 eKr).

Aastal 1202 tutvustas seda jada läänemaailmale itaalia matemaatik Leonardo Fibonacci.

Pealiige

Fibonacci arvud on tihedalt seotud kuldlõikega: kui valida piisavalt suur Fibonacci arv, siis on sellele eelnev Fibonacci arv sellest alati ligikaudu kuldlõike suhtarvu pöördväärtus $1/\varphi \approx 0,618$ korda väiksem ning järgnev arv on sellest $\varphi \approx 1,618$ korda suurem.

Viimast väljendab asjaolu, et Fibonacci jada esitub kujul

$F_{n}={\frac {\varphi ^{n}-(-\varphi )^{-n}}{\sqrt {5}}}={\frac {\varphi ^{n}-(1-\varphi )^{n}}{\sqrt {5}}},$

kus $\varphi$ on kuldlõike suhtarv. See valem saadakse eeltoodud rekurrentse seose $F_{n}=F_{n-1}+F_{n-2}$ lahendamisel algtingimustel $F_{0}=0$, $F_{1}=1$.

Fibonacci jada pealiikme valemi tuletamine

Unustame esialgu algtingimused ja otsime rekurrentse võrrandi

$F_{n+2}=F_{n+1}+F_{n}\qquad (1)$

lahendit kujul

$F_{n}=x^{n}.\,$

Asendades oletatava lahendi võrrandisse (1), saame pärast kõikide suuruste samale poole võrdusmärki viimist ja $x^{n}$-ga jagamist karakteristliku ruutvõrrandi

$x^{2}-x-1=0.\,$

Selle ruutvõrrandi lahendid on

$x_{1}={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}=\varphi ,\quad x_{2}={\frac {1-{\sqrt {5}}}{2}}=1-\varphi ,\,$

kus $\varphi$ on kuldlõike suhtarv. Et seos (1) on lineaarne, siis on $F_{n}$ üldlahend

$F_{n}=A\varphi ^{n}+B(1-\varphi )^{n},\qquad (2)$

kus kordajad $A$ ja $B$ leitakse algtingimustest:

$F_{0}=0,\quad F_{1}=1.\qquad (3)$

Asendades üldlahendi (2) algtingimustesse (3), saame lineaarvõrrandisüsteemi

$F_{0}=A+B=0,\quad F_{1}=A\varphi +B(1-\varphi )=1,$

mille lahendamine annab A ja B väärtused:

$A=-B={\frac {1}{2\varphi -1}}={\frac {1}{\sqrt {5}}}.\,$

Asendades kordajad A ja B üldlahendisse (2), jõuamegi oodatud tulemuseni

$F_{n}={\frac {\varphi ^{n}-(1-\varphi )^{n}}{\sqrt {5}}}.\,$

Loodus

Fibonacci jada võib kohata ka looduses. Näiteks taimede ehituses: et lehed ühtlaselt päikest saaksid, on need paigutunud korrapäraselt. Näiteks kahe kohakuti lehe vahel on tihti Fibonacci arv lehti. Sama on täheldatud ka käbi kihtide puhul.

Lucas' jada

Vaata ka: Lucas' jada

Lucas' jada liikmed defineeritakse samuti rekursiivselt kahe eelneva liikme summana, kuid selle esimesed liikmed erinevad Fibonacci jada omadest, mistõttu on Lucas' jada Fibonacci jadast erinev. Selle esimesed liikmed on:

$2,\;1,\;3,\;4,\;7,\;11,\;18,\;29,\ \ldots .$

Vaata ka

• Faktoriaal

Välislingid

 Fibonacci jada – pildid, videod ja helifailid Wikimedia Commonsis